Катя написала на доске пример на умножение и зашифровала его по правилам буквенных
ребусов так:  TRIO × 111 = JARMILO (одинаковым буквам соответствуют одинаковые
цифры, разным — разные). Найдите наименьшее возможное значение числа TRIO (и
докажите, что оно наименьшее возможное).

Для наглядности представим результат умножения столбиком:
 Из такого представления сразу можно сделать несколько выводов.
J = 1T = 9A = 0В результате у нас задействованы три из возможных десяти цифр.
Теперь, чтобы не обнимать необъятное, разобьем задачу на две более простые.
Левую часть пока оставим в покое. Займемся правой.
Наименьшая цифра для R - это двойка. Вот и поработаем с ней.
Пусть R = 2.
Возможны два исхода:
Исход первый.
R+O = 9, тогда для О единственно возможное значение равно 7.И мы задействовали уже пять цифр: 0, 1, 2, 7 и 9.
А значит сумма I+O может принимать значения равные 13 или 15 (L соответственно может принимать значения 3 или 5).
Пояснение: эта сумма не может быть равна 14 т.к. I и О не могут принимать равные значения; 16 - не может, т.к. цифра 9 уже занята; 18 - не может, сами понимаете почему.
Итак, возможные варианты:
7+6=13
7+8=15
А значит I может принимать значение, равное либо шести, либо восьми.
Поскольку нам необходимо найти наименьшее число, то и проверять начнем с I=6.
Итак, у нас получились следующие соответствия:
T=9, R=2, I=6, O=7
Сверяем с первым рисунком
J=1, A=0, R=2, M=8, I=6, L=3, O=7 и T=9. Все соответствует и ничему не противоречит.
Искомое число TRIO = 9267
Случай, когда I=8 проверять не будем, т.к. 9287 больше чем 9267.
Исход второй.
для R+O=10 значение О должно равняться восьми, но это не приводит к решению задачи: ибо сумма I+O не должна превышать девяти. Тупик.Для R=3, R=4, R=5, R=6, R=7, R=8 даже заморачиваться не будем, поскольку в задаче не требуется найти все возможные варианты числа - которые, даже если они есть, все равно больше числа 9267.
Ответ: TRIO = 9267 - число, наименьшее из возможных вариантов числа.