Как это решить Как найти наименьшее значение функции y=3х^3-3x^2-45x+7 на отрезке [5;7]?.

Здравствуйте! Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет,значит функция непрерывна на отрезке [5;7].
Находим производную:
у'=(3х³-3х²-45х+7)'= 3*3х²-3*2х-45 = 9х²-6х-45
Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки:
9х²-6х-45=0
9х²-6х=45
3х(3х-2)=45
1)3х=45
х1=15
2)3х-2=45
3х=47
х=15 2/3
Проверим принадлежность полученных точек отрезку [5;7]:
Критические точки отрезку не принадлежат.
Вычислим значение функции у(x) на концах интервала [5;7]:
у(а)=у(5)=3*5³-3*5²-45*5+7=3*125-3*25-225+7=375-75-218=82
у(b)= y(7)=3*7³-3*7²-45*7+7=3*343-3*49-315+7=1029-147-308=574
Среди полученных значений наибольшее М=574, наименьшее m=82
Ответ:82
                                                                              

Дана функция y = 3х³ - 3x² - 45x + 7
Найдем для начала точку экстремума данной функции. Для этого посчитаем производную данной функции и приравняем её к нулю.
y' = (3х³ - 3x² - 45x + 7)'
y' = (3х³)' - (3x²)' - (45x)' + (7)'
y' = 9х² - 6x - 45 = 0
3x² - 2x - 15 = 0
D = 4 + 180 = 184 (чего то некрасивый дискриминант, ну да ладно)
x₁ = (2+√184)/6 = (1 + √46)/3 
x₂ = (2 - √184)/6 = (1 - √46)/3 - Этот корень отрицательный и не принадлежит промежутку [5; 7], поэтому не интересен.
Проверим принадлежит ли промежутку [5; 7] корень x₁
Сравним
5  и  (1+√46)/3 и 7 | Домножим все на 3
15 и 1+√46 и 21 | отнимем 1
14 и √46 и 20 | возведем в квадрат
196 и 46 и 400
46 < 196
То есть и корень x₁ не принадлежит промежутку и нам не интересен.
То есть в промежутке [5; 7] у функции нет экстремумов.
Проверяем тогда значение функции в концах отрезка
y(5) = 3•125 - 3•25 - 45•5 + 7 = 82
y(7) = 3•343 - 3•49 - 45•7 + 7 = 574
y(7) > y(5)
Значит y(5) = 82 и есть наименьшее значение
Ответ: 82