Требуется найти наименьшее значение выражения, представленного на картинке,
и все пары (a; x), при которых это значение достигается.
Сразу говорю: Задание из ДВИ для МГУ, то есть для школьников, которые функций с двумя переменными не проходили.
Поэтому решать в частных производных нельзя!
Только как функцию с параметром а.

Обозначим
logₐcos ax = p
logₐsin ax = q
logₐ tg ax = t.
Подкоренные выражения можно переписать так:
9² + (5 + p)² = A
7² + (3 − q)² = B
2² + (1 + t)² = C.
Заметим:
9 + 7 + 2 = 18;
(5 + p) + (3 − q) + (1 + t) = 9.
Стало быть, исходное выражение не меньше, чем расстояние от начала координат (0; 0) до точки (18; 9), и достигается тогда и только тогда, когда все три точки
(9; 5 + p), (7; 3 − q), (2;  1 + t)
лежат на прямой a = x/2, то есть
{ 5 + p = 9/2
{ 3 − q = 7/2
{ 1 + t = 1,
Откуда  cos ax = sin ax = 1/√a,  а поскольку  cos²ax +  sin²ax = 1, то а = 2.
Минимум достигается при x = π/8 + kπ, k ∈ ℤ, и равен √(18² + 9²) = 9√5.
Ответ:
Наименьшее значение выражения  9√5.
Достигается при а = 2,   x = π/8 + kπ, k ∈ ℤ.
                                                                              

Наибольшее и наименьшее значение логарифмической функции. Задание 12
В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.
Итак.
Пример 1
Най�ди�те наи�боль�шее зна�че�ние функ�ции y=ln(x+5)^5-5x на от�рез�ке delim{[}{ -4,5;0}{]}.
Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.
В этом примере под знаком логарифма стоит выражение  x+5 в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, (x+5)^5>0 и отсюда x+5>0 .
Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим y=5ln(x+5)-5x.
Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.)
y{prime}=5/{x+5}{(x+�5)}{prime}-5=5/{x+5}-5
Найдем нули производной:
5/{x+5}-5=0
{5-5x-25}/{x+5}=0
{ -5x-20}/{x+5}=0
-5x-20=0;~~x=-4
Определим знаки производной: (учитываем, что x+5>0)
И, соответственно, поведение функции:
В точке x=-4 производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:
Следовательно, в точке x=-4 функция y=ln(x+5)^5-5x принимает наибольшее значение на отрезке delim{[}{ -4,5;0}{]}.
Найдем значение функции при x=-4: y(-4)=ln(-4+5)^5-5(-4)=ln1+20=20
Ответ: 20.
Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а  натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что x=-4, т.к. x+5=1 . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.
Пример 2.
Най�ди�те точку мак�си�му�ма функ�ции y=ln(x+4)^2+2x+7
В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате. Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции x<>-4. Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:
y=2ln{delim{|}{x+4}{�|}}+2x+7
При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.
Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: x>-4 и x<-4. Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:
y=ln(x^2+8x+16)+2x+7
y{prime}={1/{x^2+8x+�16}}*(x^2+8x+16){pri�me}+2={2x+8}/{x^2+8x�+16}+2={2(x+4)}/{(x+�4)^2}+2=2/{x+4}+2
Найдем нули производной:
2/{x+4}+2=0
{2+2x+8}/{x+4}=0
2x+10=0
x=-5;
В точке -4 производная не определена, но меняет знак.
Исследуем знаки производной:
В точке x=-5 производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума функции.