Задача. Даны 4 точки в пространстве:
A(2, -2, -4); B(3; -6; -6); D (3; 0; -8); A1(-2; -3; -3)
Строим параллелепипед на трех векторах: AB; AD; AA1.
Как найти его объем?
Я посчитал длины этих векторов.
AB = √[(Ax-Bx)^2 + (Ay-By)^2 + (Az-Bz)^2] = √[(2-3)^2 + (-2+6)^2 + (-4+6)^2] = √(1^2 + 4^2 + 2^2) = √(1 + 16 + 4) = √21
Аналогично AD = √21, AA1 = √18 = 3√2.
И перемножил их:
V = AB*AD*AA1 = √21*√21*3√2 = 21*3√2 = 63√2
И мне сказали, что это неправильный ответ.
Что я сделал не так?

Ошибка в том, что произведение длин векторов и произведение векторов это разные вещи. Произведение векторов дает на плоскости площадь параллелограмма, то есть произведение длин векторов на синус угла между ними. А в пространстве Ваше решение было бы верным, если бы углы между векторами были прямыми, то есть синус был бы равен 1.
При решении задачи нужно было определить по координатам точек координаты векторов
вектор АВ(1,-4,-2)
вектор АD(1,2,-4)
вектор АА1(-4,-1,1)
и перемножить вектора, удобно матрицей
| 1 -4 -2|
V= | 1  2 -4|= 2+4-4-16+64-2=48
|-4 -1  1|