В окружности проведены две пересекающиеся хорды АВ=7, CD=5. Точка их пересечения делит CD в отношении 2:3. В каком отношении эта точка делит хорду АВ? (В ответе укажите отношение меньшего отрезка к большему).

• 1:6
• 1:5
• 5:7
• 1:7
• 2:3

Нарисуем рисунок для понимания решения
Пусть K - точка пересечения хорд. Так как CK:KD = 2:3. То есть CK - 2 части, а KD - 3 части. А вместе 5 частей, но и весь отрезок CD = 5, тогда 1 часть - это 1 единица измерения. И CK = 2, KD = 3
Есть свойство пересекающихся хорд CK • KD = AK • KB
Если это свойство не помним, то оно быстро выводится из подобия ∆CAK и ∆BDK (подобны по 2 углам ∠K - вертикальные и ∠A = ∠D - вписанные опираются на одну дугу)
Итак получили: AK • KB = 2•3 = 6
Но так же по условию AK+KB = AB = 7
откуда KB = 7-AK и подставим в первое уравнение
AK•(7-AK) = 6, (можно сразу подобрать корни 1 и 6 или 6 и 1)
Но давайте аккуратно раскроем скобки и получим квадратное уравнение
AK² - 7AK + 6 = 0
D = 49 - 24 = 25
(AK)₁ = (7-5)/2 = 1 в этом случае (KB)₁ = 7-1 = 6
(AK)₂ = (7+5)/2 = 6 в этом случае (KB)₂ = 7-6 = 1
То есть в обоих случаях хорда AB точкой пересечения разбивает на два отрезка: 1 и 6
Отношение меньшего к большему 1:6
Ответ: 1:6