Как это решить Найдите сумму квадратов корней уравнения (см. рисунок в окне). Как решить?.

Если умножить обе части исходного уравнения на знаменатель его правой части, то получим равносильное уравнение
(x^2+9x+18)(x^2+5x+4�)=40,
точнее, исходному уравнению оно будет равносильно в системе с неравенством нулю знаменателя правой части исходного уравнения, но это неравенство можно сразу исключить из системы, так как при условии x^2+5x+4=0 уравнение обращается в неверное равенство 0=40.
Разложим на множители квадратные трёхчлены (для этого можно решить соответствующие квадратные уравнения) и выполним равносильные преобразования:
((x+3)(x+6))((x+1)(x�+4))=40,
((x+3)(x+4))((x+6)(x�+1))=40,
(x^2+7x+12)(x^2+7x+6�)=40.
Далее уравнение можно решать как квадратное относительно (x^2+7x), но чуть удобнее (получится разность квадратов) относительно y:=x^2+7x+9:
(y+3)(y-3)=40,
y^2=49,
y=-7 или y=7,
x^2+7x+9=-7 или x^2+7x+9=7,
x^2+7x+16=0 или x^2+7x+2=0.
Дискриминант первого квадратного уравнения получившейся совокупности уравнений 7^2-4*16=-15<0, то есть оно не имеет корней в множестве действительных чисел; а второе имеет, его дискриминант 7^2-4*2=41>0, сумму квадратов его корней можно найти по формулам Виета:
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2(x1*x2)=(-7)^2-2*2=45.
Ответ: 45.
Заметим, что если бы у вопроса не было тега «10-11 классы», то можно было бы предположить, что в вопросе спрашивается обо всех комплексных корнях уравнения. Исходному уравнению равносильно алгебраическое уравнение 4-й степени, которое, как известно из следствия из так называемой основной теоремы алгебры имеет 4 комплексных корня (с учётом их кратностей). Сумму их квадратов опять же можно выразить через коэффициенты уравнения при помощи формул Виета, при этом в нашем случае надо знать лишь коэффициенты при старших степенях неизвестного:
x^4+(5+9)x^3+(4+18+9�*5)x^2+...=0,
x^4+14x^3+67x^2+...=0;
x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=�(x1+x2+x3+ x4)^2-2(x1*x2+x1*x3+x1*x4+�x2*x3+x2*x4+x3*x4)=(-14)^2-2*67=62.
Получилось положительное число, а могла бы, как ни странно, в общем случае получиться и отрицательная сумма квадратов всех комплексных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами.
                                                                              

Имеем уравнение x² + 9x + 18 = 40/(x² + 5x + 4)
Очень длинное и муторное решение.
Видим 2 квадратных уравнения. Разложим их на множители. Для этого найдем корни каждого:
x² + 9x + 18 По теореме Виета имеет корни -3; и -6;
то есть x² +9x + 18 = (x+3)•(x+6)
Аналогично:  x² + 5x + 4 по теореме Виета имеет корни -1; и -4
x² + 5x + 4 = (х+1)•(x+4)
Получаем:
(х+3)•(x+6)•(x+1)•(x�+4) - 40 = 0 (при х ≠ -1 и x ≠ -4 - Область определения)
Перемножим 1 и 4 скобку и 2 с 3 скобкой, что бы получить одинаковые множители у "х":
(x² + 7x + 12)•(x² + 7x + 6) - 40 = 0
Сделаем замену переменной: t = x² + 7x
(t+12)•(t+6) - 40 = 0
t² + 18t + 32 = 0
D = 324 - 128 = 196
t₁ = (-18 + 14)/2 = -2
t₂ = (-18 - 14)/2 = -16
Делаем обратную замену
1) x² + 7x = -2
D = 49 - 8 = 41
x₁ = (-7+√41)/2
x₂ = (-7-√41)/2
Корни удовлетворяют области определения.
2) x² + 7x = -16
D = 49 - 64 < 0 Нет корней
Надо посчитать
x₁² + x₂²
(-7+√41)²/4  + (-7-√41)²/4  = (49 - 14•√41 + 41 + 49 + 14•√41 + 41)/4 = 180/4 = 45
Ответ: x₁² + x₂² = 45