В окружности через середину хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды AC.

Сделаем рисунок в соответствии с условиями.
Итак по условию дуги AB и CD и отрезки BO и OD равны (О середина хорды BD). Так как дуги AB и CD равны, то равны и хорды AB и CD, значит равны и треугольники ABO и CDO (по первому признаку равенства треугольников: AB=CD и BO=OD, углы ABO и DCO равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD). Значит равны и стороны треугольников АС и ОС. Значит О является серединой хорды АС, что и требовалось доказать.