Как это решить Как исследовать на сходимость ряд?.

Но в первом случае можно воспользоваться признаком Даламбера. Найти предел отношения n+1 члена к n члену при n стремящимся к бесконечности.lim((9/10)^(n+1)* (n+1)^7/(9/10)^n*n^7)=lim((9/10)*(n+1)^7/n^7)=9/10*lim((n+1)^7/(n^7))=9/10 (предел равен 1). Так получили 9/10<1, то ряд сходится.
Знакочередующий ряд исследовать можно так: рассмотрим ряд, составленный из модулей, получим ряд 1/ n^2. Так как показатель степени больше 1, то ряд сходится ( для того чтобы это доказать, можно использовать признак Коши интегральный). Так как ряд, составленный из модулей, сходится, то и исходный знакочередующийся ряд сходится причем абсолютно.
Для исследования ряда с артангенсом используем признак Коши. Найдем  lim((arctg(1/5^n))^n)^(1/n))=lim(arctg(1/5^n))=0. Следовательно, ряд сходится.
Ну и все остальное в том же духе.
                                                                              

1)пусть к-й член последовательности а(к)=(9\10)^n*n^7,тогда (к+1)-й член последовательности = а(к+1)=(9\10)^(n+1)*(n+1)^7.Для выяснения сходимости ряда достаточно выяснить,что последующий член меньше предыдущего,то есть предел отношения lim(a(k+1)\a(k))<1.lim (9\10)^(n+1-n)*(n+1)^7(n^7)=lim(9\10)^1*lim((n+1)\n)^7=9\10*1<1 значит ряд сходится.               2)((7+n)(49+n^2))^2.Исследуется предел отношения последующего члена а(к+1) к предыдущему а(к).lim ((7+n+1)(7+n))^2*lim((49+(n)^2)^2((49+(n+1)^2)^2.Как видно второй предел быстрее стремится к величине меньше 1,чем первый предел,и в итоге,вся дробь меньше 1.