Еще один из нескольких безумных вопросов. Как это решать?
Про правильную шестиугольную призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1 известно, что H=AA1=5 и a=AB=5.
Чему равен синус угла между плоскостью ABC1 и прямой JF1,
если точка J делит отрезок CD в отношении 1:4, считая от точки C?
Вот примерный рисунок:

Для начала чисто формальные рассуждения. Полскость АВС1 боле полно назвать плоскость АВС1F1. Из точки J опускаем перпендикуляр (JK) на эту плоскость. Прямая F1K - проекция прямой JF1 на плоскость АВС1F1. Искомый угол KF1J, и синус его равен JK/F1J.
Вычисление длины F1J. Прежде всего отметим, что диагонали оснований, в частности FC=10.
Соединим отрезком прямой точки F и С. Из точки J проведём перпендикуляр к FС, и на пересечении поставим точку L. Треугольник CJL - прямоугольный с острыми углами 30 и 60°.
Из исходного условия получаем, что СJ =1. Значит СL=0,5, а JL=(√3)/2, FL=9,5.
Длина F1J=√((F1F)^2+(FL)^2+(LJ)^2))=√(5^2+9,5^2+((√3)/2)^2=√116.
Вычисление длины JK.** Проведём через точку J прямую, JM, параллельную FC. Очевидно, что она будет параллельна плоскости АВС1, и расстояния от любой точки прямой JM до плоскости АВС1F1  будут одинаковы. Поэтому вместо расстояния от точки J будем определять расстояние от более удобной точки.
Обозначим центры шестиугольников О и О1 и соединим их отрезком (осью призмы). Обозначим середину АВ точкой N, и через точки N и O проеведём прямую (перпендикулярную АВ). Она пересечёт и отрезок JM (в его середине). Обозначим точку пересечения точкой P. Вот расстояние от точки Р до плоскости АВС1F1 и будеи определять.
Рассмотрим треугольник NO1O. Он прямоугольный, ОО1=5, NО=5*(√3)/2=2,5*√3. По Пифагору находим NO1=2,5*√7. Из точки О проведём перпендикуляр к О1N. Точку пересечения обозначим Q. Треугольники QON и OO1N подобны. Из подобия треугольников OQ=ON*OO1/O1N=2,5*√3*5/(2,5*√7)=5*√(3/7).
Из точки P проведём перпендикуляр PS к O1N (параллельно OQ). Треугольники PSN и OQN подобны.
PN=ON+NP. Очевидно, что NP=JL=(√3)/2. Тогда PN=2,5*√3+(√3)/2=3*√3. Коэффициент подобия треугольников  PSN и OQN  равен 3*√3/2,5*√3=1,2. Тогда PS равен OQ*12=6*√(3/7)
Синус искомого угла равен 6*√(3/7)/√116=0,364698404.
Для проверки, я вычислил ещё длину F1K, и соответсвенно, косинус искомого угла, равный F1K/F1J. Он получился равным 0,931125703, сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Поскольку это не обязательно, эту часть приводить не буду.
Итак, синус искомого угла равен 0,364698404.
                                                                              

Рассмотрим несколько упрощенный вариант геометрического решения относительно способа Rafail, а также предложение Vitaliy Grab.
Через точку J образуем плоскость РТК  перпендикулярно FС и параллельно СС₁. Проведем перпендикуляр JN к плоскости АF₁С₁В. Следует обратить внимание, точка N находится за пределами четырехугольника АF₁С₁В. Длину отрезка F₁J = √116, как следует из рисунка, относительно несложно определить  последовательно из треугольников СКJ, KFJ и FF₁J.
Прямоугольные треугольники РТК и РN J подобны по равенству углов, тогда
JN/РJ = СС₁/РТ.
По теореме Пифагора можно вычислить стороны этих треугольников. РJ = 3*√3, СС₁ = 5, РТ = 2,5*√7. Откуда
JN =3*√3*5/(2,5*√7).
Определяем искомую величину
sinα = JN/ F₁J = 3*√3*5/(2,5*√7*√116) = 0,3646984.
--------------------------------------------------------------------------------�----
Решить задачу можно по способу, предложенному Vitaliy Grab, воспользовавшись формулами, изображенными на среднем рисунке. Явно – вычислений намного больше.
Заслуживает внимания третий вариант решения epimkin(а).
--------------------------------------------------------------------------------�----
Есть четвертый вариант решения задачи, но он тоже более трудоемок (см. нижний рисунок). Делаем развертку тетраэдра  JF₁ВС₁. Проводим  высоты на боковых гранях из вершины J к ребрам при основании тетраэдра. Затем продляем их до  пересечения в точке N (проекции его вершины на плоскость основания).

Как загрузить вторую картинку - не знаю, может в комментариях получится

Ну вот получилось только так. Может быть длинно, но зато негде ошибиться, кроме как в арифметике. В школе сейчас, кстати проходят координатные методы