В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт, дети захотели, чтобы их куски тоже были квадратными. Родители могут разрезать торт разрезами, параллельными сторонам торта (разрезы не обязаны начинаться или оканчиваться на
стороне торта). Для какого наибольшего значения k родители гарантированно могут вырезать из заказанного торта k квадратных кусков, которые можно выдать k детям, чтобы каждый из них получил желаемое?

Да уже для двух детей этого нельзя никак сделать, только лишь для одного ребёнка будет один цельный квадратной формы торт, потому, для общего вида k = 1.
Нет конечно, если допускать, что некоторые куски равны по площади, то тут вариантов множество всяких разных, вплоть до второй степени любого целого числа.