Окружность с центром на основании AC равнобедренного треугольника ABC касается сторон AB и BC, а сторону AC делит на три равные части. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC  равна 9√2.

по условию задачи:
ОВ = 3r (где r - радиус окружности)
обозначим h - высота треугольника ∆АВС, D - точка касания окружности
отсюда следует: что ∠ОDВ = 90°, ОВ = r
тогда, по теореме Пифагора, получаем:
ВD² = ОВ² - r² = 9r² - r² = 8r²
ВD = 2√2r
треугольники ∆OBD и ∆AOB - подобные, т.к у данных треугольников равна два угла
(угол ∠ОВА - у них общий, а углы ∠ОDВ = ∠АОВ = 90°)
следовательно равны отношения сходственных сторон ∆OBD и ∆AOB (т.е. сторон, лежащих против равных углов) :
h/ОВ = r/ВD = 1/(2√2)
h = ОВ/(2√2) = 3r/(2√2)
площадь ∆АВС равна:
h * ОВ = 9r²/(2√2) = 9√2
отсюда получаем:
r² = √2*(2√2) = 4
Ответ: r = 2