Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти из них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Предположим, что такой оси,проекция на которую каждого из десяти векторов положительна, не существует. Тогда, проекция хотя бы одного вектора на какую-то ось будет отрицательной. Обозначим этот вектор через х. Пусть сумма длин всех остальных девяти векторов равна у и эта проекция этой суммы положительна, по условию сумма длин десяти векторов х+у больше у, то есть проекция вектора х тоже должна быть положительной. Противоречие, значит наше предположение неверно, значит существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.