Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.

Допустим есть числа: x y z
(x+y)³ = x³+y³
Если заменить один из них нулём, то равенство верно:
(x+0)³ = x³+0³
x³ = x³
Если оба заменить на нули, то вообще будет 0=0.
А теперь рассмотрим вариант, когда нет нуля среди них.
Если такой вариант невозможен, то это и является доказательством.
(x+y)³ = x³+y³ ;
Возможно ли такое равенство?
(x+y)³ это объём кубика с ребром x+y
x³+y³ это сумма объёмов двух кубиков с рёбрами x и y соответственно.
Это если кто захочет проверить через объёмы, например через вес воды в кубиках таких размеров. Но нам по сути эта информация в решении не пригодится.
Теперь разложим (x+y)³
(x+y)³ = x³+ 3x²y + 3xy² + y³ ;
Формулу нашёл в интернете, надеюсь верная.
Попробуем приравнять это:
x³+ 3x²y + 3xy² + y³ = x³+y³ ;
Сокращаем:
3x²y + 3xy² = 0 ;
3x²y = - 3xy² ;
Делим обе части на 3xy:
x = - y ;
Вот мы и подобрались к доказательству.
Условие выполняется между двумя ненулевыми числами, если эти два числа равны, но противоположны по знаку.
1) Три нулевых числа - условие выполняется.
2) Два нулевых и одно любое ненулевое число - условие выполняется.
3) Одно нулевое и два ненулевых числа - равенство выполняется при условии, что два ненулевых числа равны по модулю, но противоположны по знаку.
4) Три ненулевых числа - условие никак не выполняется, так как два сравниваемых ненулевых числа всегда должны быть противоположны по знаку, а если у нас имеется три числа, то либо 2 из них положительные и 1 отрицательное, либо наоборот - 2 отрицательных и одно положительное, и когда мы сравним 2 одинаковых по знаку и модулю числа, то условие x = - y не выполнится.
Если же взять три разных по значению чисел, то не выполнится равенство левой и правых частей.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Для того чтоб решать задачу необходимо понимать условие. Итак в условии даны 3 (три!) числа. Ни два, ни одно и не пять, а три числа!
Имеем три числа: a; b; c
По условию
(a+b)³ = a³ + b³ (1)
(a+c)³ = a³ + c³ (2)
(b+c)³ = b³ + c³ (3)
Раскроем уравнение (1) по формуле куб суммы двух чисел
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .=.  a³ + b³ получаем
3a²b + 3ab² = 0 разделим на 3 вынесем за скобки (ab)
ab•(a+b) = 0
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0;
a = 0 или b = 0 или (a+b) = 0
Если a = 0 или b = 0, то задача решена. Пусть a≠0 и b≠0
тогда a+b = 0 и a=-b
Аналогично рассмотрев уравнения (2) получим a=-c
И из уравнения (3) b=-c
Тогда из "a = -b" и "a = -c" получим "-b = -c", а из "b=-c" получим
"с = -с" или
с+с=0
2с=0
с=0
Получили в ходе решения a=0 или b=0 или с =0
ч.т.д.

Формула куба суммы двух чисел выглядит следующим образом:
По условию задачи значение этого выражение равно:
Отсюда видим, что значение выражения
даёт в сумме ноль. Упрощаем выражение, выносим за скобки 3аb. Один из множителей полученного выражения должен равняться нулю, так как произведение равно нулю. Делаем вывод, что среди чисел a и b есть ноль.