Просьба употреблять понятные слова. Я хотела объяснить своей дошкольнице-сестре это понятие, т.к. повторяла материал к ЕГЭ про производную. Но у меня не нашлось простых слов. Более того, я знаю математику еще хуже А.С. Пушкина, поэтому и сама четко не понимаю, что это такое. У меня от пределов функций запредельное непонимание.
Что это такое физически? Как это можно объяснить попроще ?

Вообще понятие производной не очень сложное. Ведь производная от слова производить что-то из чего-то. Для дошкольников это можно объяснить на таких простых примерах. Например, стол сделан из дерева. То есть, если дерево это функция, то стол ее производная. Или нефть функция, а бензин ее производная. Или хлопок производная, а ткани из нее производные.
Что касается скорости движения, то это уже пример производной для старшеклассников. То есть это более сложный пример. Суть производной - получение от одной функции другую - лучше объяснить малышам на таких аналогиях.
                                                                              

Представьте себе Буратино, который по указке кота Базилио и лисы Алисы поверил в  денежную силу поля Чудес (в стране Дураков). Хитрые кот и лиса придумали сказку о том, что можно закопать в землю монеты и на утро вырастает денежное дерево. Ребёнок понимает, что не будет этого.
Все помнят, что было с Буратино. 5 монет он закопал, полил ямку и даже произнёс заветные слова "Крэкс, Пэкс, Фэкс".  Не выросло дерево! И не могло! Монеты сами по себе не могут произвести новые.
Вернёмся к производной. Пусть у ребёнка будут ассоциации со словом "производить". Монеты не производят ничего, так как у них нет какой-то скорости для их деления. 5 монет - величина постоянная. Производная от постоянной величины равна нулю (то есть скорости изменения их количества). Производная от десяти игрушек тоже равна нулю и так далее. Что называется "под лежачий камень и вода не течёт".
Теперь попробуем спросить у ребёнка, а что можно было сделать с этими монетами, чтобы получить прибыль. Мне кажется, современный ребёнок знает о банках. Надо ему рассказать о том, что такое банковский вклад. Кладём сумму денег, а она увеличивается с определённой скоростью. Эта скорость изменения и является производной от части вклада. Деньги "производят" деньги с некоторой скоростью, что мы привыкли называть прибылью.
Надеюсь, моё объяснение можно считать понятным. Если нет, предложите мне более простой способ (можно в личку). Поверьте моему опыту. Сложнее всего объяснить школьнику не "производную", а что такое "функция". Но, если человечек упрётся и не захочет вникать в математические термины, никто его не заставит. Никакой учитель, никакими современными или игровыми технологиями. Хоть ты возьми, да на глазах у  детей закопай монеты и произнеси заветные "Крэкс. Пэкс. Фэкс".

На физическом языке можно примерно так рассуждать для ребенка дошкольного возраста.
Что быстрее выпустит воздух если проткнуть иголкой - футбольный мячик или воздушный шарик?
Сначала проткнем футбольный мячик, и этой же иголкой вторым воздушный шарик, (можно процесс одновременно двумя иголками произвести).
Естественно, - футбольный мячик будет медленно выпускать воздух, а воздушный шарик сразу лопнет.
Мгновенно, сразу, за секунду, или как-то еще, но лопнувший шарик  нашем случае оказался первым, а футбольный мячик только выпустет воздух через определенный долгий промежуток времени (он хочет долгожителем быть))).
Вывод: Лопнувший мгновенно шарик для футбольного мяча будет производной функцией. (Потому что у лопнувшего мгновенно шарика время стремится к нулю, по сравнению с тем, что футбольный мяч хочет остаться живым).
Мы можем взять воздушных шаров такое количество чтобы хватило на то время пока выдыхается наш футбольный мяч и будем строчить иголкой шары во время выдоха футбольного мяча через отверстие проделанное иголкой.
Скорость с которой мы сможем строчить иголкой эти шары и покажет для каждого шара свою производную функцию.
На биологическом языке - это рост растений за определенное время, посадить несколько видов растений и вычислить за какое время и сколько подрастает растение?
Химически - это можно показать, как быстро растворяются сахар, соль, сода или глина (суть примерно также как выше изложенная).
Геометрически сложнее, поэтому направление мысли, если понравится идея - допустим на полу лежит мячик, точка соприкосновения есть касательная пола к мячику.......
*Производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в этой точке*
Примерно так, лет 45 назад возможно проще бы объяснил своими словами, забывается к 60 годам и мозги уже не так работают. Говорил мне мудрый дед - Хватайся сынок за мгновения жизни - это  производная функция жизни.

Физически производная - это скорость процесса..
Т.е. вот мы проехали на машине 100 км за час..
Производная - это скорость этой машины - 100 км/час..
А ещё если нарисовать рисунок: вот например снежная горка..
Доска, которая едет с горки - меняет свой наклон, в процессе езды.. И этот наклон и есть производная..
Например в начале горки спуск крутой и доска наклонилась сильно, а в конце - пологий.. Значит в начале спуска наклон доски будет большой, а концу - маленький.. И производная - маленькая.. На вершине горки есть площадка ровная и доска тоже лежит ровно, а рас лежит ровно и никуда не наклонена, значит здесь производная равна нулю..
А кроме того на вершине доска неподвижна, значит производная равна нулю..
После того, как доска съедет с горки где-то в конце она остановится.. Значит в конце тоже производная равна нулю.. А вот между вершиной и концом горки производная увеличивается (доска быстро едет), а потом замедляется (медленно едет к концу)..
А вообще дошкольнице рассказывать о элементах анализа рано - пусть она учит цифры, складывает и отнимает числа..
Всему своё время.. Всё-таки производная - это уже достаточно абстрактное понятие и для полного его понимания мозг должен сформироваться.. Всему своё время...

Наиболее близкое объяснение у simpl в ответе, хотя с некоторыми небрежностями.
Про скорость процесса хорошо, но дошкольнику это осознать не получится, да даже взрослому не всякому это просто понять.
А вот графический образ  с наклонной горкой - это уже тема. Только развить её надо в нужном русле.
Пусть даже с той же досточкой или, Например, идет человечек по дорожке в право, а дорожка, то вверх, то вниз, то ровно, то бугор, то ямка.
И вот делает человечек маленькие шажочки вправо и смотрим насколько за этот шажочек изменилась его высота. Если за маленький шажочек (рядышком точечки) высота не изменилась, то есть дорожка ровная (а это происходит на вершинке или во впадинке, или на  горизонтальной дорожке), то производная = 0.
Если же за маленький шажок высота растет (человечек поднимается), то производная "+" (положительный плюсик) и чем выше поднимется человечек за этот маленький шаг тем больше будет производная (круче горка).
А если же за маленький шажок высота падает (человечек спускается), то производная "-" (отрицательный минус) и чем ниже опускается человечек за этот маленький шаг тем меньше будет производная (круче спуск).
То есть производная показывает на сколько изменится высота подъема за один и тот же маленький-маленький шажок. Или если просто  в результате смотреть на горку, то производная показывает горка идет вверх или вниз или ровно и насколько круто или полого поднимается или опускается горка.
Если дорожка вверх, то производная "+" и чем круче вверх, тем больше "+"
Если дорожка вниз, то производная "-" и чем круче вниз, тем больше "-"
А чем меньше дорожка поднимается или опускается тем производная ближе к нолику
И когда дорожка не меняет свою высоту на маленьком расстоянии то производная = 0

Дошкольнику понятие производной "на пальцах" объяснить нельзя. Для начала нужно объяснить что такое функция, а для объяснения функции - нужно уже иметь понятие что такое алгебра, числовые множества и др. И только на одной арифметике определение не возможно. Для оперированием производной нужно уже иметь определённый уровень математических знаний, не имея которых всё это будет приводить к полному непониманию. А школьная алгебра не учится за 5 минут.

Даже дошкольник наверняка представляет что такое скорость. Поэтому проще всего объяснить ему можно будет, используя именно это понятие.
Например, одна какая-то физическая величина изменяется в зависимости от другой. И вот скорость изменения этой величины и есть производная.

Какая разница, какого возраста студент или ученик, для того, чтобы объяснить любое понятие нужно изложить его  в историческом и логическом виде. В историческом имею ввиду в развитии, как оно появляется от простой арифметики, от простых природных явлений к физике и алгебре. Поэтому дошкольника нужно будет освободить от всех занятий и посвятить все его время изучению математики.
Тогда, возможно, через год или два он усвоит начала анализа.
А вот так, на пальцах, в течении часа  невозможно объяснить ни ребенку, ни тем более, взрослому человеку, у которого в голове уже много чего.
Можно было бы сейчас составить план выполнения этой задачи. Но зачем, есть учебники, так по оглавлению и нужно двигаться.
Что касается краткого определения производной, ее физического и геометрического смысла, так же и понятия интеграла, то даже определение, которое не вызывает затруднения у тех, кто все последовательно изучил и применяет, не представляется возможным донести.
Если посмотреть общо, то в любой науке или практической деятельности основой являются понятия, категории, термины, условные обозначения. Вот, например, география и географические карты. Для дошкольника это просто лист бумаги, на котором что-то нарисовано и написано. А для взрослого человека понятно, что нужно посмотреть масштаб, посмотреть условные обозначения, посмотреть на координатную сетку. Видите, я назвал три понятия. Но каждое понятие нужно усвоить, на это нужно время. Подойдите к ребенку и сразу он не поймет, если еще не интересно это.
А в математике сотни, тысячи понятий, если конечно взять все направления. И постепенно все складывается в картину, еще и есть сразу приложение математики к другим наукам, к практической деятельности.
Возвращаясь к вопросу, может быть кто-то и считает, что все можно объяснить. Но вот тот, кто как раз понимает, тот не возьмется. Я, например, не смогу объяснить, хотя считаю себя хорошо понимающим математику, подзабыл некоторые вещи, но легко все вспоминаю, если просмотрю учебники или справочники. И физическая картина мира без всякой астрологии и прочей чепухи.