На доске написано 27 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 22. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 21. С  этими  числами  произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные умножили на 2. Пусть А – среднее арифметическое оставшихся после этого чисел.
А) Могло ли оказаться так, что А=10?
Б) Могло ли оказаться так, что А=12?
В) Найдите наименьшее возможное значение А?

Введем следующие обозначения:
Ч - сумма всех четных чисел
Н - сумма всех нечетных чисел
тогда получаем следующие уравнения:
Ч+Н=21*27
Ч/2+2Н=А*27
домножаем 2-е уравнение на 2 и вычитаем из 1-го уравнения, получаем:
3*Н=27*(2А-21)
Вопрос А) Могло ли оказаться так, что А=10?
Подставляем в уравнение значение А=10, получаем:
3*Н=-27  это не возможно, т.к Н - заведомо неотрицательное
Ответ на вопрос А): нет, А не может быть равно 10
Вопрос Б) Могло ли оказаться так, что А=12?
Подставляем в уравнение значение А=12, получаем:
3*Н=27*3
т.е Н=27 пока противоречия нет, т.к сумма нечетных чисел может быть равна 27
при этом минимальное кол-во нечетных чисел будет 3, т.к одно нечетное число быть не может, 2 нечетных числа в сумме всегда дают четное, а 3 нечетных числа в сумме дают нечетное
сумма четных чисел будет равна:
Ч=21*27-Н=20*27=540 тоже пока противоречия нет
при этом максимальное кол-во четных чисел будет 27-3=24 и по условию все числа <=22
т.е максимальное Ч=24*22=528 т.е получаем противоречие
Ответ на вопрос Б): нет, А не может быть равно 12
Вопрос В) Найдите наименьшее возможное значение А?
воспользуемся снова формулой:
3*Н=27*(2А-21)
1.минимальное значение А, которое удовлетворяет данному уравнению:
А=10.5 при этом получаем Н=0 т.е все числа - четные
но это невозможно, т.к сумма всех чисел = 21*27 - нечетное число
2.следующее минимальное значение: А=11, получаем:
3*Н=27 т.е Н=9 при этом, минимальное кол-во нечетных чисел будет 1
сумма четных чисел будет равна:
Ч=21*27-Н=21*27-9=558
максимальное кол-во четных чисел будет 27-1=26
максимальная сумма четных чисел: 26*22=572
т.е из 26 четных чисел вполне возможно сформировать набор, сумма которого будет равна 558
например: 25 одинаковых чисел 22 и 26-е число 8
а последнее 27-е число равно 9
Ответ на вопрос В)
минимальное значение А=11