Как графическим путём с помощью только линейки и циркуля построить отрезок равный √19?

Меня учили геометрии ещё старой школы (я восьмилетку закончил в 1975-м году): линейка без делений и циркуль без градусной шкалы. То есть, как во времена Пифагора и Архимеда...
Впрочем, при наличии самых точных линеек √19 всё равно не отмерить - число иррациональное.
Но если вспомнить "Пифагоровы штаны" - отрезки с иррациональной длиной тоже можно отмерить/построить. Помните:
То есть, гипотенуза равна корню квадратному из сумму квадратов катетов.
Что нам это даёт?
Берём два одинаковые отрезки под углом 90 градусов, соединяем их окончания - получаем гипотенузу длиной √2. Число иррациональное? Конечно. Но ведь √2 построили? Ещё как!
Давайте поработаем. ОА - единичный отрезок. АВ - второй единичный отрезок под углом 90 градусов. Имеем ОВ длиной √2. К этой диагонали в точке В под 90 градусов строим единичный отрезок ВС - диагональ треугольника ОВС даёт нам √3. Продолжаем последовательные построения:
как дойдём до точки Т - как раз длина ОТ и будет составлять √19.
Стоп, стоп, стоп, стоп!
Не надо возмущаться количеством построений.
Давайте вспомним, что √16 равняется 4. Построим в ряд четыре одинарных отрезка - ОQ будет иметь длину √16. Плюс в перпендикуляр одинарный QR - диагональ ОR даёт нам √17. Еще два построения - и получим ОТ как раз длиной √19:
В принципе, как раз с этого и следовало начинать. Предыдущая иллюстрация нужна только чтобы продемонстрировать ход построений: начинаем от
и постепенно добираемся до
Что, собственно, и требовалось довести.
                                                                              

10^2 - 9^2 = 19
Строим прямой угол. На пенпендикуняре откладываем девять делений, затем раствором циркуля в десять делений находим пересечение с горизонталью. Расстояние от основания пенпендикуняра до точки, где циркуль пересёк горизонталь, будет равно корню из девятнадцати.

Конечно, самое гениальное получит геометрически число 19 постепенно, сначала √ (1 + 1), потом, √ (1 + 1 + 1), и так до 19 единиц.
Но интереснее и быстрее получить или катет прямоугольного треугольника, или гипотенузу, при условии, что число 18=9 получается следующим образом (как пример).19 = 10 ^ 2 - 9 ^ 2 = 100 - 81. Получается, что 10 это гипотенуза прямоугольного треугольника, а 9 один из катетов, тогда  √(19)  другой катет.Можно применить другой расчёт.√ (19)^2 = (4) ^ 2 + √(3) ^ 2, где 4 и √ катеты а искомый √(19) гипотенуза.
√(3) можно получить как катет из треугольника с гипотенузой 2 и катетом 1.
√(3) ^ 2 = (2) ^2 - (1) ^ 2.
Вариантов можно найти много.

Чертим прямой угол, обозначим его вершину точкой А. На одной стороне угла откладываем единичный отрезок АВ. Далее, на той же стороне откладываем ещё один единичный отрезок ВС (т.е. отрезок АС равен 2). Далее, на той же стороне откладываем отрезок СD, равный 2 (т.е. отрезок АD равен 4).  Теперь, не меняя раствора циркуля (он равен 2) ставим ножку циркуля в точку В и проводим часть дуги окружности, так чтобы она пересекла вторую сторону прямого угла. Точку пересечения обозначим Е. Очевидно, что ВЕ=2, а АЕ=?3. Через точки D и Е проводим прямую. Отрезок DE равен ?19.

Построить отрезок равный √19 можно так: на горизонтальной стороне прямого угла с вершиной в точке О откладываем отрезки длиной 18 (ОА)  и 20 (ОВ) произвольных единиц, из точки А  проводим циркулем раствором 20 единиц дугу окружности до пересечения с вертикальной стороной прямого угла в точке С, делим отрезок ОС пополам и получаем точку М, отрезки ОМ=МС=√19.