В ряд выписаны 10 цифр 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4. Между ними надо поставить 8 знаков сложения и 1 знак умножения и посчитать результат. Сколько различных результатов можно получить таким образом?

Давайте сделаем так, как просят, то есть между данными цифрами поставим  восемь знаков сложения и один знак умножения. Постараемся таким образом написать всевозможные варианты. А потом посчитаем результат. Итак,
1)  (1*1)+1+1+2+2+2+3+3+�4=19;
2)  1+(1*1)+1+2+2+2+3+3+�4=19;
3)  1+1+(1*1)+2+2+2+3+3+�4=19;
4)  1+1+1+(1*2)+2+2+3+3+�4=19;
5)  1+1+1+1+(2*2)+2+3+3+�4=20;
6)  1+1+1+1+2+(2*2)+3+3+�4=20;
7)  1+1+1+1+2+2+(2*3)+3+�4=21;
  1+1+1+1+2+2+2+(3*3)+�4=23;
9)  1+1+1+1+2+2+2+3+(3*4�)=25;
Выходит, мы имеем всего девять таких вариантов.
Можно было начать и по-другому- в обратном порядке:
1)  1+1+1+1+2+2+2+3+(3*4�)=25;
2)  1+1+1+1+2+2+2+(3*3)+�4=23;
3)  1+1+1+1+2+2+(2*3)+3+�4=21;
4)  1+1+1+1+2+(2*2)+3+3+�4=20;
5)  1+1+1+1+(2*2)+2+3+3+�4=20;
6)  1+1+1+(1*2)+2+2+3+3+�4=19;
7)  1+1+(1*1)+2+2+2+3+3+�4=19;
  1+(1*1)+1+2+2+2+3+3+�4=19;
9)  (1*1)+1+1+2+2+2+3+3+�4=19;
И здесь девять вариантов. А результат тот самый.
Как видим, оказывается, можно получить восемь различных результатов: 19, 20, 21, 23 и 25. Таким образом, ответ, следовательно, будет таким: решив задачу, можно будет получить пять различных результатов.
Ответ: 5 различных результатов.
                                                                              

Промежутков между 10-ти цифрами (почему цифрами, а не числами? ведь собираются с ними как-то оперировать, это числа) всего девять. Стало быть, знак умножения может быть в любом из этих девяти промежутков.
Девять различных результатов можно получить в этом случае. Предъявлять эти девять результатов, как я понимаю, не требуется.