Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними (Задача 872)

Достаточно известна формула нахождения длины биссектрисы
L = sqrt(bc – b1c1)
В применении к нашей задаче sqrt( BK * CK) = sqrt(AB*AC - AK^2 )
Произведение двух отрезков как-то не очень строится, но можно построить среднее геометрическое двух отрезков. Упоминается даже в википедии.
На первом этапе строим отрезок прямой, длина которого равна сумме АВ и AС (на рисунке АВ и ВС, которая равна АС исходного рисунка в условии). Находим его середину, и строим пол окружности. Из точки В проводим перпендикуляр до его пересечения с окружностью.  Из подобия прямоугольных треугольников следует, что BM = sqrt(AB * BC).
Правую часть нашего выражения sqrt(AB*AC - AK^2 ) можем рассматривать, как разность квадратов гипотенузы и одного из катетов. Строим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна sqrt(AB * BC), а один из катетов BL равен нашей биссектрисе АК.
Тогда второй катет LM будет равен среднему геометрическому BK и CK ( sqrt(BK * CK)).
Теперь можем использовать тот факт, что биссектриса делит сторону, на которую опущена, на отрезки имеющие те же  пропорции, что и стороны, которым они прилегают.
В  нашем случае АВ/BK = AC / CK . Пусть коэффициент  пропорциональности k.
sqrt(AB * BC)/ sqrt(BK*CK) = sqrt(AB/BK) * sqrt(BC/CK). Тот же самый коэффициент пропорциональности.
Строим парочку подобных треугольников.  Можно любых. Но у нас уже есть первый рисунок, можем его дополнить.
От точки B откладываем вверх отрезок равный LM на втором рисунке. Через точку L проводим прямые LP параллельную АМ и LQ параллельную МС. Поскольку LB = sqrt(PB*BQ), можем считать, что у нас есть третья сторона треугольника PQ равная ВС на исходном рисунке.
Как строить треугольник по трём сторонам, знают все.