Как представить число 14 в виде суммы трех чисел. При этом:
Первое число относится ко второму как 1/3
Сумма куба первого и квадратов второго и третьего чисел имеет наименьшее значение.
Задание представлено в теме производных и экстремумов функций. Задача решается в уме, но как это связать с темой?

Попробую начать не с подбора решения (например, в уме у меня получилось 2 + 6 + 6, сумма = 8 + 36 + 36 = 80), а непосредственно с производных и экстремумов.
Пусть х - первое число, тогда 3х - второе число и (14-4х) - 3 число
f(x) = x^3 + (3x)^2 + (14-4x)^2 имеет экстремум, когда производная = 0
f'(x) = 3x^2 + 18x -112 + 32x = 0
3x^2 + 50x - 112 = 0
x = (-50+-(2500+4*3*112)^0.5)/6 = (-50+-62)/6
x1 = 2, х2 = -56/3. Проверка показывает, что x1 - функция минимальна, при x2 - максимальна.
Значит 2,6,6 - правильные числа
                                                                              

3+9+2=14
3 относится к 9, как 1/3
9+81=94
1+3+10=14
1 относится к 3 как 1/3
1+9+100=110
94<110, а значит, первый вариант правильный
Это то, что "решается в уме", а вот как связать с темой, я без понятия.