При укладывании по 8 пл. в ряд остается один неполный ряд:
Такой вопрос, в задаче сказано (читаем выше) что при укладывании квадрата 8х8 остается 1 неполный ряд, т.е. минимальное количество плиток должно быть как минимум 8*7=56, а как же правильный ответ 55

Не хочу вас всех расстраивать, но у нас есть ответ к этой задачке, и этот ответ 41...но как решить, я до сих пор не пойму...Где-то в ваших логических рассуждениях закралась ошибка.

Поскольку при выкладывании по 8 и по 9 плиток в ряд прямоугольников не получается, а остаются неполные ряды, то количество плиток делится на 8 и на 9 с остатками.
Остаток от деления любого числа на 8 не может быть больше 7. По условию это число на 6 больше, чем остаток от деления на 9. Но остаток от деления на 9 тоже не равен нулю. Значит, остаток от деления на 8 может быть равен только 7. А остаток от деления на 9 равен 1.
Общее количество плиток меньше 100, иначе их хватило бы на квадратную площадку со стороной в 10 плиток. Среди чисел меньше 100 надо найти такое, которое делится на 8 с остатком 7 и на 9 с остатком 1. Проверив все числа в пределах 100, делящиеся на 9 с остатком 1, получим ответ: 55 плиток