Например : 2^3 x  4^5 = ?
Не знаю удачный ли пример,но что тут надо делать?При умножении и делении надо степени вычитать и складывать,а тут что?

В общем случае с этим ничего не сделать, в вашем конкретном примере можно 4 представить как 2 во 2-й степени. Получится (2^2)^5. Далее, т.к. при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получаем 2^3 x 2^10 = 2^13 = 8192.
Т.е. числа нужно приводить ко одинаковому основанию или показателю степени. Тут 2 правила:
X^a * X^b = X^(a+b)
X^a * Y^a = (XY)^a.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

У вас не сложение , или вычитание , а умножение. И это очень меняет дело*
В данном примере нужно привести 4 к степени двойки : 4 =2^(2) , тогда
2^(3) * 4^(5) = 2^(3) * [2^(2)]^5 = 2^(3 * 2^(10) = 2 ^ (3+10) = 2 ^ (13) или 2 в 13 степени.
Если бы был пример на сложение ,то есть :
2 ^ (3) + 4 ^ (5) = [2 ^( 3) + (2 )]^ 2 ^ 5 = 2 ^ (3) + 2 ^( 10)= 2 ^(3) *[1+2 ^( 7)].
И это совсем другой результат.А правила действий со степенями такие :
a ^ (m) * a ^ (n) = a ^ (m+n)a ^(m) \ a ^ (n) = a ^ (m-n)a^ (m )+ a ^( n) = a ^(m) *[a ^(m-n)+1}Вот это правило очень важное,потому что когда степени стоят как слагаемые,то их нельзя иначе преобразовать,как только вынести общий множитель за скобки.
({a ^ (m)}^n= a ^ (m*n)

Если в выражении присутствует возведение в степень, то алгоритм действий различается для умножения/деления и для сложения/вычитания.
Начнём с самого простого - умножение и деление степеней с одинаковым основанием.
1) Умножение - основание остаётся тем же, а показатели степени складываем.
2) Деление -  основание оставляем, а из показателя степени делимого вычитаем показатель степени делителя.
В этой ситуации затруднений вообще быть не должно.
При умножении и делении степеней с разными основаниями порядок алгоритм такой - приводим их к одному основанию (если это можно сделать), а затем выполняем действия по вышеприведённым правилам.
Если основания разные, но при этом показатель степени один и тот же, то нужно перемножить основания и возвести их в степень.
  Другое дело, если требуется сложить или вычесть степени.
Здесь ситуация разная.
Если показатель степени у чисел один и тот же, то можно воспользоваться формулами сокращённого умножения для суммы и разности степеней.
В некоторых случаях можно попробовать общий множитель выносится за скобки.
Ну и последний вариант (если первые два способа не применимы) - возводим каждое число в степень и складываем/вычитаем.

В вашем примере 2^3•4^5 нужно найти произведение степеней с разными основаниями. Потребуется несколько действий совершить:
Если привести к одному основанию, то действо со степенями упрощаются. Основание в нашем случае - 2 и 4, т.е. те числа, что возводим в разные степени. Здесь тот счастливый случай, когда реально привести к единому основанию. 4- это 2 в квадрате.Теперь это 2^2 нужно возвести в 5 степень, по общему правилу, перемножаем значения 2 и 5. Выглядит это правило так (a^b)^c= a^bc. 2^3•2^10, теперь по правилу действия со степенями, оставляем общее основание, а 3 и 10 складываем. Тут применяется формула a^b•a^c=a^(b+c).2^13= 8192.Со сложением чисел в одной степени, как и с вычитанием, занимаемся расчетами на калькуляторе или в столбик на бумажке. Хотя есть возможность использовать известные из школьной алгебры формулы сокращенного умножения для вычитания квадратов, для сложения или  вычитания кубов. Так можно хоть от степеней избавиться или понизить их.
a^2-b^2=(a-b)•(a+b) -  так упрощаем разность квадратных чисел.
a^3-a^3 = (a+b)•(a^2-ab+b^2)или a^3+b^3=(a-b)•(a^2+ab+b^2) и с неудобными третьими степенями можно распрощаться.

В общем случае ничего с таким умножением сделать нельзя. То есть если требуется умножить 2 в квадрате на 3 в кубе, то это не значит, что мы должны 2 умножить на 3 и возвести результат в 5 степень - ответ получится неверный. Приходится возводить 2 в квадрат, а 3 в куб и только потом перемножать числа. Но если требуется 2 в произвольной степени умножить на 4 в произвольной степени, то мы представляем 4 как 2 в квадрате и просто складываем степени. Если же мы складываем или вычитаем два числа возведенных в степени, то тут нет никакого правила - надо возводить и складывать (вычитать) результат: а^3 + b^4 не упростить да и не надо.

На вашем примере нужно привести к одной основе, то есть 4 - это 2^2. Поэтому запишем выражение следующим образом  2^3 x 4^5 =  2^3 x (2^2)^5. Теперь нам нужно избавиться от этих скобочек. Мы знаем, что по правилу степени просто перемножаются, поэтому, у нас получится следующее выражение: 2^3 x 2^10. А теперь у нас есть единая основа, значит мы можем просто сложить степени. Получится такое выражение: 2^13. Ответ будет 8192.
Итак, на представленном вами примере мы использовали всего лишь 2 правила, а именно сложение степеней, когда есть одна основа, и умножение их, когда мы возводим одну степень в другую.

Ничего кроме выполнения отдельных операций согласно их приоритету, вы тут не сделаете. Если вам нужно сложить два разных числа в разных степенях, то сначала каждое число вы возводите в свою степень и после этого выполняете сложение.
Если у двух слагаемых в основании одно число в разных степенях, можно вынести общее кратное:
Например, а^x+y + а^x = а^x * (а^y + 1)
Если основания разные, но степень одна, то в некоторых простых частных случаях можно воспользоваться алгебраическими формулами вроде: а^2-b^2= (а-b) * (a+b). Но это очень редкие совпадения, расчитывать на которые не стоит.

Пример:
2^3 х 4^5.
Для решения этого уравнения нужно привести их к одинаковому основанию: представить 4 как 2 в квадрате (2^2).
Изначально у нас было 4^5 > (2^2)^5.  Степени умножаем и получаем 2^10.
Теперь можно решить это уравнение;
2^3 х2^10. Складываем степени и получаем 2^13.
Подобные уравнения решаются именно так:
Если основания одинаковые, то складываем степени.
Если же показатели степени одинаковые, то нужно основания перемножить и полученный результат возвести в степень.

Если умножать степени с одинаковым основанием, то показатели степени складываются:
Например: 2^2 х 2^4 = 2^6 = 64
Если делить степени с одинаковым основанием, то показатели степени вычитаются:
Например: 2^4 / 2^2 = 2^2 = 4.
Если же умножать или делить степени с разным основанием, то нужно сначала возвести основание в степень, а потом совершать умножение или деление.
В вашем случае 2^3 x 4^5 = 8 х 1024 = 8192.

При умножении степеней, которые имеют одинаковые основания - числа степеней складываются.
При делении степеней, которые имеют одинаковые основания - числа степеней вычитаются.
А вот если умножать, либо делить степени, которые имеют разные основания, нужно выполнить следующие действия:
возвести основание в степеньвыполнить заданное умножение или деление.