На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD=49, MD= 42, Н − точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Не могу сказать, что мне нравится решать подобные задачи, когда к ним не прилагается чертёж или хотя бы карандашный набросок. Постоянно терзают сомнения - вдруг что-то упущено автором или я какой-то нюанс не отслежу. В любом случае предпочитаю начинать с создания необходимой картинки. иначе ведь никто и не поверит в правильность предлагаемых рассуждений и в сам результат. Что же, приступим. Кстати, если уж говорится о высотах, то я их все три и изобразил - вдруг пригодится:
И пока что я вижу только одно - мы можем без труда определить длину отрезка AM. Надо или не надо, но давайте запишем:
AM = AD - MD = 49 - 42 = 7Но это пока никак не приблизило нас к определению значения длины отрезка AH, о котором спрашивает автор вопроса. Давайте думать дальше. И здесь мне удалось заметить две пары подобных треугольников, с помощью которых можно определить хоть какую-то формулу для поиска необходимого значение. При этом следует мысленно разделить наш треугольник на две части - левую и правую. И слева мы видим подобные треугольники ABD и AHE. Почему они подобные? А вы сами посмотрите - оба имеют по одному прямому углу, равному 90 градусов, и по одному общему острому углу. Вывод однозначный - третий угол у каждого тоже одинаковый, а треугольники подобные. И что это нам даёт? Для начала соотношение? А потом и выражение AH через другие значения:
AH / AB = AE / ADAH = (AE * AB) / AD =  (AE * AB) / 49Та же ситуация ситуация имеет место и для правой стороны, где по аналогичным причинам подобны два других треугольника - ACD и AHF. Следовательно мы можем разобраться и со второй пропорцией:
AH / AC = AF / ADAH = (AF * AC) / AD =  (AF * AC) / 49И чем нам это помогло? Голова кругом идёт. Бросить бы это задание, но будет жаль потраченных сил и времени, потраченных хотя бы на те же картинки. Поэтому идём дальше. Собственно говоря, что это за отрезки такие волшебные, если их попарные произведения равны? Ведь из предыдущих пропорций мы можем сделать однозначный вывод:
(AE * AB) / 49 = (AF * AC) / 49AE * AB = AF * ACИ тут приходит озарение. А ведь это так называемые секущие для нашей полуокружности, как и для воображаемой целой окружности. И получается, что мы тут невольно доказали теорему о секущих? Найти бы любое из этих произведений, разделить на 49 и дело с концом. Только как? Смотрим внимательно: может быть не зря я упомянул целую окружность? Ведь тут явно просматривается ещё одна секущая, для которой мы уже вычислили значение AM = 7 в самом начале. Давайте дорисовывать!
И теперь мы можем смело добавить к предыдущему вычислению следующую запись:
AH = (AE * AB) / 49 = (AF * AC) / 49 = (AM * AQ) / 49 = 7 * AQ / 49Нам осталось разобраться с AQ и в этом поможет указанное на картинке равенство DM = DQ. Думаю, что вы не станете спорить? Ведь диаметр BC делит пополам не только окружность, но и все перпендикулярные диаметру секущие. А ведь значение DM нам известно из условия задачи - 42. Стало быть, MQ = 2 * 42 = 84 и тогда:
AQ = AM + MQ = 84 + 7 = 91AH = AM * MQ / 49 = 7 * 91 / 49 = 13Всё.