Периметр квадрата 24 см, в квадрат вписана окружность, а в окружность вписан треугольник. Найдите периметр треугольника.

Значит сторона квадрата равна 24/4 = 6 см. А сторона квадрата в тоже время является и диаметром круга. 
А Радиус равен R = 6/2 = 3 см.
Радиус описанной окружности равен:
R = а*(√3/3). Где "а" - сторона треугольника
a = R/(√3/3) = 3/(√3/3).
Периметр треугольника равна 3*3/(V3/3) = 3*3/(√(3)/3) = 15,5884572681 см.
Мой ответ: периметр треугольника равен 15,5884572681 см.
                                                                              

Не люблю задачи с корявым условием. Разве не понятно, что такая задача не имеет однозначного решения. Ну хотя бы взять два разных представленных решения. (хоть одно посчитано не совсем верно). Но понятно, что решение будет зависеть от треугольника, который вписан. Ира взяла равносторонний, получила  P = 9√3 ≈ 15,59. Nasos взял прямоугольный с углом в 30˚ (правда там периметр будет P = 6+3+√27 ≈ 14,2). А кто то возьмет прямоугольный с углом в 45˚ и будет ответ P = 6+3•2•√2 ≈ 14,49
А можно же взять треугольник совсем маленький. Например проведем хорду размером 1 см. И на меньшей дуге точку. Получим треугольник со стороной 1 см.  и две другие менее 1 см Итого P < 3см.
А если взять хорду еще меньше, сколь угодно малой например 0,0001 см? или еще меньше в миллионы раз.
Поэтому в данной задаче не полное условие. Не указано какого треугольника искать периметр.
Кстати равносторонний треугольник будет максимальным по возможному периметру. Могло и в таком ключе быть условие. 

Поскольку периметр квадрата 24см, то его сторона имеет длину 6см, такой же длины будет и диаметр вписанной в него окружности. А если вписать в неё прямоугольный треугольник, то его гипотенуза будет равна диаметру окружности, то есть тем же 6см, а если ещё этот треугольник будет таким, что у него "катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы", то нам остаётся только к девяти уже известным сантиметрам прибавить длину второго катета. А она, эта длина, равна корню квадратному из ((6*6) + (3*3)), то есть ≈6.71см
В итоге получаем периметр треугольника, равный ≈15.71см