Окружность ω ограничивает круг площади 49π. Внутри окружности ω расположены две окружности ω1 и ω2, касающиеся ω и касающиеся друг друга внешним образом (см. рисунок). Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, ω1 и ω2.

Приведенный рисунок от другой задачи и не соответствует условию в описании. На задачу с таким рисунком мной был дан ответ. Подробные моменты утверждений в этой задаче можно почерпнуть в том ответе.
Здесь же нарисуем рисунок согласно условию. И будем работать по нему.
Обозначим точки касания окружностей, соответсвенно: точки A = ω ∩ ω1; B = ω ∩ ω2; C = ω1 ∩ ω2;
И обозначим соответсвенно радиусы O₁A = O₁C = R₁ - радиус ω1; O₂B = O₂C = R₂ - радиус ω2; OA = OB = R - радиус ω
Заметим, что радиусы OA и O₁A -  лежат на одной прямой, так же радиусы OB и O₂B лежат на одной прямой, и радиусы O₁C и O₂C лежат на одной прямой, как отрезки единственных перпендикулярных прямых к касательным в точке касания.
Вспомним формулу площади круга S = πR² = 49π для круга ω. Получаем R = √(49π/π) = 7
OO₁ = OA - O₁A = 7 - R₁
OO₂ = OB - O₂B = 7 - R₂
O₁O₂ = O₁C + O₂B = R₁ + R₂
Периметр ∆OO₁O₂ равен P = OO₁ + OO₂ + O₁O₂ = (7 - R₁) + (7 - R₂) + (R₁ + R₂) = 14
Ответ: периметр 14