Дана прямоугольная трапеция ABCD, основания AB = 5, CD = 4, боковая сторона BC перпендикулярна к основаниям.
Через точки A и D нарисовали окружность, которая касается стороны BC в точке М.
Вопрос: Найти расстояние от точки М до боковой стороны AD, то есть длину отрезка MN, перпендикулярного к AD.

Всякую фигуру на плоскости можно разбить на треугольники, а сам треугольник - на два прямоугольных треугольника. Далее, исходя из подобия треугольников, можно в принципе решить любую геометрическую задачу.
Проведем дополнительные линии как показано на рисунке. В результате получаем три подобных прямоугольных треугольника ЕDА, СКD, МКN, тогда ЕА = 5 – 4 = 1.
Отрезки касательной КМ и секущей КА к окружности связаны следующей зависимостью
КМ² = КА*DА.
КD/DА = СD/ЕА, откуда КD = DА* СD/ ЕА = 4*DА.
Тогда  КМ = √((4*DА + DА)*4* DА)= 2√5*DА.
КМ/МN = DА/ЕА, в результате МN = КМ* ЕА/DА = 2√5.
                                                                              

Из точки А восстановим перпендикуляр до пересечения с продолжением малого основания трапеции СD в точке А1. В результате получим квадрат АВАСА1. Из точки D опустим перпендикуляр на АВ и получим точку D1, из точки М проведём перпендикуляр до пересечения с прямой DD1 в точке О которая является центром окружности радиусом R=4. Соединим точку М с точкой D1. Обозначим точку пересечения прямой MN с DО буквой К. Очевидно что ОD1=АD1=1.  Продолжим МО до пересечения с АА1 в точке М1. Площадь треугольника МОК=4*ОК/2, площадь треугольника ОМ1К=!*ОК/2. Площадь треугольника ММ1К=5*ОК/2 и равна сумме площадей треугольника МОК и ОМ1К, откуда 5*ОК/2=4*ОК/2+!*ОК/2�, тогда 5*ОК=5ОК и ОК=1. МК^2=МО^2+ОК^2=16+1=�17, МК=√17. DК=DО-ОК=4-1=3. Из подобия прямоугольных треугольников DЕ!А и DNK имеем DА/D1А=DК/КN, КN=DК*D1А/DА=3*1/√26�. МN=МК+КN=√17+3/√26=4�,7... .

Из точки А восстановим перпендикуляр до пересечения с продолжением малого основания трапеции СD в точке А1. В результате получим квадрат АВАСА1. Из точки D опустим перпендикуляр на АВ и получим точку D1, из точки М проведём перпендикуляр до пересечения с прямой DD1 в точке О которая является центром окружности радиусом R=4. Обозначим точку пересечения прямой MN с DО буквой К. Рассмотрим прямоугольный треугольный DMN. В нём катет МN=√(DМ^2-DN^2). DМ^2=32. DN=DА/2. DА=√26�, DN=√(26)/2. DN^2=26/4=6,5, тогда МN=√(32-6,5)=√25,5=5�... .