Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2с, вторые - через каждые 3с. Всего было насчитано 13 ударов. Слившиеся удары воспринимаются как один. Сколько времени часы били?

Если первые часы бьют каждые 2 секунды , то получаем удары на 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18- всего 10 раз.
Вторые часы которые бьют через 3 секунды, получаем удары на 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18- всего 7 раз.
По условию задачи слившиеся удары 0, 6, 12, 18 убираем и засчитываем как один , получаем, что ударов остается 17,но 4 из них совпали, следовательно 17-4 получаем число 13 ударов и последний удар на 18, значит ответ 18 секунд били часы.
                                                                              

Другое решение (для разнообразия ответов ).Пусть часы с интервалом в 2 секунды пробили Х раз,с интервалом в 3 секунды-У раз.Тогда пусть Х+У=М ( здесь М-все удары обоих часов ).Совпадающие удары подходят под решение в целых числах равенства Х=1,5У.Пусть у нас Р таких решений.Тогда имеем Х+У-Р=13.Время боя часов-Т.Тогда Х=(Т/2)+1 и У=(Т/3)+1 (так как отсчёт начинается с нулевого момента времени ).Далее имеем (Т/2)+1+ (Т/3)+1-Р=13.Далее получим 5Т/6=11+Р или 5Т=66+6Р.Найдём решения в целых числах.Если Р=1,то Т=72:5-не подходит,Р=2,то Т=78:5-не подходит,Р=3,то Т=84:5-не подходит,Р=4,то Т=(66+4*6 ):5=90/5=18-подходитSHY.Зная Т найдём Х и У.Ответ Х=(18/2)+1=10,а У=(18/3)+1=7.Ответ часы били 18 секунд.

После того как часы одновременно начнут бой, то до первого совпадения (а это будет 6 секунд), часы пробьют четыре раза, а именно через 2 секунды, 3 секунды, 4 секунды и 6 секунд. Следующий одновременный бой произойдёт в 12 секунд, следовательно за эти следующие 6 секунд часы снова ударят 4 раза ( это будет 8 секунд, 9 секунд, 10 секунд и 12 секунд). В следующие 6 секунд снова ничего не изменится и часы пробьют очередные 4 раза - это произойдёт в 14 секунд, 15 секунд, 16 секунд и 18 секунд. Следовательно, из всего вышеописанного получаем - 4+4+4 = 12 ударов, и 13-ый (общий) удар произойдёт в 18 секунд. Ответом задачи будет: часы пробили 18 секунд.