Дан четырехугольник ABCD, в котором AB=AD, BC=CD.
На его диагонали AC взяли произвольную точку K.
Докажите, что BK=DK

Рассмотрим треугольники ABC и  ADC:
AB=AD и  BC=CD по условию задачи, а сторона AC общая, следовательно эти треугольники равны по трём сторонам.
Из равенства треугольников следует равенство углов, лежащих напротив равных сторон:
∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA
Соединим точки B и D отрезком прямой и обозначим точку пересечения AC и BD буквой F.
Каждый из треугольников ABD  и BD равнобедренный
Если ∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA, то прямая AC является бисектриссой углов ∠BAD и ∠BCD.
В равнобедренном треугольнике биссектрисса угла при вершине треугольника, является, также, и высотой, проведённой к основанию и медианой.
Отрезки BD и AC перпендикулярны и  BF=FD.
Если точка K лежит на прямой AC, то △BFK=△DFK, как прямоугольные треугольники у которых один катет общий, а другие равны (BF=FD).
Из равенства прямоугольных треугольников △BFK и △DFK следует равенство их гипотенуз: BK = DK, что и требовалось доказать.
                                                                              

По условию, противоположные стороны четырехугольника ABCD равны. Его диагональ АС делит этот четырехугольник на два равных треугольника АВС и ADC. Они равны по трём сторонам.
Сторона АС у них общая и является биссектрисой углов А и С.
Тогда будут равны треугольники DKC и BKC(по признаку равенства треугольников - двум сторонам и углу между ними.
Тогда BK будет равна DK, что и требовалось доказать.