В детском оздоровительном лагере проходил праздник Нептуна, в котором участвовало ровно 2019 детей. Каждый из этих 2019 участников плеснул водой ровно в одного другого участника.
А) Можно ли гарантированно найти 670 участников таких, что никто из них не обливал другого из этих 670 участников водой?
Б) Можно ли гарантированно найти 675 участников таких, что никто из них не обливал другого из этих 675 участников водой?
В) Какое наибольшее количество участников можно гарантированно найти на этом празднике таких, что никто из них не обливал другого из этой группы участников водой?

Конечно мне нравятся ответы типа, который дал Nasos. (Все обливали 1 участника) И моя первая реакция была аналогичной. Но все же это не решение задачи.
Все дело в самой постановке вопроса. В каждом вопросе слово "гарантировано".
То есть, могли все участники обливать одного? Конечно могли. Но можно гарантировать, что было именно так? А вдруг они обливались как то по другому? Нам же неизвестно. А спрашивают именно про гарантированный исход. То есть как бы не обливались участники у них точно не получится достичь какой то ситуации. То есть надо предполагать самый неблагоприятный исход и решать его.
Понятно, что надо придумать исход, когда каждый участник связан обливанием, как с можно большим количеством других участников.
Такой вариант это когда 1 участник связан с двумя другими участниками. Например все плескали водой друг друга по кругу (упорядочим их по номерам): 1 -> 2 -> 3 -> ... 2018 -> 2019 -> 1
Получается каждый участник плесканул в одного и его плесканул другой.
Теперь рассмотрим вопрос А)
При этих условиях берем участников с 1-го номера через одного. Связаны только соседние номера: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> ...
А через один связей нет. Получается можно взять все нечетные номера, кроме 2019 (он связан с №1). Но нечетных номеров получается 2018:2 = 1009 > 670
Но вдруг есть расстановка, которая ухудшит вариант, если нечетные номера связать.
Например возьмем: 1 -> 2 -> 3 -> 1. Из этой тройки номеров можно взять только 1, который не связан с остальными. Если остальные тройки номеров будут разбиты связями так же, то сможем взять: 2019:3 = 673 участника из каждой тройки, чтоб он не был связан с остальными. 673 > 670
Если брать большее количество: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 1 и т.д., то всегда можно выбрать через один номер.
Таким образом "наихудшей" расстановкой будет, когда участники плескаются тройками по кругу. И в этом случае максимально можно выбрать 673 участника гарантировано не плескавших друг в друга.
Следовательно 675 участников быть не может. А 670 - может
Ответ: А) 670 - может ; Б) 675 - не может; В) максимально 673
                                                                              

Сначала надо подсчитать как они обливали друг друга. Например, 1-й 2-го, 3-й 4-го, 5-й 6-го ... 2017-й 2018-го, а 2019-й любого из 2018-ти. Останется половина минус 1:
2018/2 - 1 = 1008. Но они могли обливать любого, даже друг друга. Всё равно бы вышла половина минус 1.
А если бы двое обливали одного, то вышло бы:
2*2019/3 = 1346. Они облили 2019/3 = 673 участника. Но это число больше 670 участников. Значит в этом случае:
Не возможно гарантированно найти 670 участников таких, что никто из них не обливал другого из этих 673 участников водой.
Но это число 673 меньше 675 участников. Значит в этом случае:
Можно гарантированно найти 675 участников таких, что никто из них не обливал другого из этих 675 участников водой. Хотя бы 2 найдутся не таких, потому что: 675 – 673 = 2
Я считаю, что это число 673, является таким, что наибольшее количество участников можно гарантированно найти на этом празднике таких, что никто из них не обливал другого из этой группы участников водой, судя по моим вычислениям выше.

Как это понимать?
Ни в кого не плеснули водою дважды? Сомнительно.
Я буду понимать так, что каждый плеснул водою в кого-то другого всего один раз.
А коли так, то работает такой крайний случай.
Пусть 2018 детей плеснули водою в одного и того же 2019-го (заслужил, видимо такую честь), тот же плеснул в кого-то из них, что уже неважно.
А коли так, то:
А) Да,
Б) Да,
В) 2018