Иногда мне на сайтах математических головоломок попадаются задачи вроде следующей:
«Пятью пятёрками и знаками 4 арифметических действий выразить любое натуральное число от 1 до 20».
Т. е. можно использовать только пять цифр "пять" и знаки арифметических операций: сложения, вычитания, умножения или деления. Правила головоломки могут отличаться, но иногда вводят жёсткие ограничения, например: 1) между любыми двумя соседними цифрами обязательно должен быть знак операции; 2) есть вариант правил, когда не разрешается использовать скобки.
У меня несколько вопросов.
Во-первых, как назвать подобные выражения?
Что-то вроде 5 5 5 5 5 = 17
Как-то не осмеливаюсь называть их уравнениями. Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину. А здесь неизвестны знаки.
Во-вторых, и это главный вопрос: как решать подобные задачи? См. выше. Нужно выразить пятью пятёрками любое натуральное число от 1 до 20. Теоретически задача решается методом полного перебора. Но для одного пункта задачи это 4 * 4 * 4 * 4 = 256 вариантов — многовато... А нам нужно получить все числа от 1 до 20. Можно ли как-нибудь решение рационализировать, облегчить?

Это задачи не алгоритмизируемые. Это чисто на соображаловку, поэтому решаются они либо интуитивно (озарение), либо тупым перебором или подбором вариантов. Иногда, конечно, можно включать и логику, но обычно она помогает несильно.
Кстати, насчёт "256 вариантов" - это недооценка. Потому что помимо арифметических знаков, тут могут применяться и скобки, где ни попадя. Кроме того, где-то может быть и не отдельная пятёрка, а 55 или даже 5⁵ - и поди тогда разберись... А может вообще какие-то алгебраические операции, да хоть факториал или корень. То есть число вариантов не жалкие две сотни с половиной, а пожалуй что несколько тысяч.
Что касается конкретно этого случая из пяти пятёрок и выражения любого числа от 0 до 20:
5^(5+5-5-5) = 1, или же 55:5-5-5 = 1
(5:5)*(5+5):5 = 2
(5:5)+(5+5):5 = 3
5-(5-5)^(5+5) = 4
5+5+5-5-5 = 5, или 5*5*5:5:5 = 5
5+(5^5)*(5^5) = 6
5+(5^5)+(5^5) = 7
(5+5+5):5+5 = 8
5+5-(5:5)^5 = 9
5+5+(5-5)*5 = 10
5+5+(5:5)^5 = 11
55:5 + 5:5 = 12, или (5+5):5+5+5 = 12
5+5+5-5:5 = 14
5+5+5+5-5 = 15
5+5+5+5:5 = 16
5*5-5-5:5 - 19
5*5-5-5+5 = 20
Варианты на 13, 17 и 18, увы, в голову не приходят...
                                                                              

Здесь я согласен с Гр. Роджером частично..
Да, такие "задачи", где "расставьте знаки между числам, чтоб получить заданное число" не могут строго логически решены..
Это чаще просто перебор..
Но если человек часто занимается таким занятием, т.е. подбирает знаки, получая некое число, то у него появляется опыт и он быстрее "решит" такую задачку..
Это можно назвать "озарением", а можно сказать, что он запоминает варианты данных подборов и по мелким признакам сразу выбирает тот нужный знак..
Ну увидел новую комбинацию и вспомнил, как в какой-то раз что-то было похожее и ставит тот самый знак..
Это родственно шахматной игре..
Поскольку число вариантов с ходами увеличивается очень быстро, то глубоко проанализировать полностью практически не возможно..
Но изучая различные варианты игр и позиций, которые были до того можно знать варианты как вести стратегию, тут конечно есть варианты, которые заведомо отбрасываются, как более слабые..