Возникла потребность в уточнении. Дана трапеция �ABCD�, где основания �AB� и � CD� соответственно равны  8√2 и 15√2.
 �В ней провели отрезок �MN�, параллельный основаниям, так, что площади двух получившихся трапеций оказались равны. Найди длину этого отрезка.

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/4123kxe).

Продлим боковые стороны АВ и СД до пересечения их в точке К.

Пусть Sамнд = Sмвсн = S см^2, Sвкс = S1 см^2.

Треугольники АКД, МКН, ВКС подобны по двум острым углам.

Отношение площадей подобны фигур равно квадрату коэффициента их подобия.

Sадк/Sмнк = АД^2/МН^2 = (S1 + 2 * S)/(S1 + S). (1)

Sвск/Sмнк = ВС^2/МН^2 = S1/(S1 + S). (2)

Сложим уравнения 1 и 2.

(S1 + 2 * S)/(S1 + S) + S1/(S1 + S) = АД^2/МН^2 + ВС^2/МН^2.

2 * (S1 + S)/(S1 + S) = (АД^2 + BC^2)/MH^2.

MH^2 = (АД^2 + BC^2)/2 = (450 + 128)/2 = 289.

MH = 17 см.

Ответ: МН = 17 см.