Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую  окружность в точках К и М соответственно.
А) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
Б) Пусть L — точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите АL, если радиус большей окружности равен 10, а  ВС=16.

Начнем с рисунка для задания A)
Построим согласно условию и дополнительно отметим центр большой окружности O; центр малой окружности E; и продлим до диаметра AD, который будет проходить через центры окружностей Е и O
,
1) Проведем дополнительно DB и ОК; Рассмотрим ∆DBA и ∆OKA - эти треугольники прямоугольные, так как вписаны в окружности и опираются на диаметры DA и OA соответсвенно. ∠DAB = ∠OAK - это один и тот же общий угол.
Следовательно эти треугольники подобны по 2 углам и АB / AK = AD / AO = 2 / 1
То есть точка K - середина AB
2) Аналогично проведем DC и ОМ; И ∆DCA подобен ∆OMA с коэффициентом подобия 2. И точка M - середина AC
3) Тогда MK - будет средней линией ∆ACB и значит MK = BC/2 и MK || CB
Пункт A) доказан
Решаем Б)
Дополним рисунок.
  1) Отметим, что L - середина AP (L находится на средней линии), а MK = BC/2 = 16/2 = 8
И ML = CP/2; LK = PB/2
И по свойству пересекающихся хорд MK и AP в точке L:
ML • LK = AL • LM или
AL² = CP • PB / 4
То есть задача сводится к поиску на какие части разобьется хорда BC точкой P
,
2) Проведем перпендикуляр ON из центра О к хорде CB. Заметим, что ∆OCB - равнобедренный OC = OB = 10 и ОN - высота в этом треугольнике, она же будет медианой.
Тогда BN = BC/2 = 16/2 = 8
Из ∆ONB - прямоугольного ON² = OB² - BN² = 10² - 8² = 36; ON = 6
,
3) Проведем радиус EP = 5, он перпендикулярен касательной BC в точке P, следовательно EP || ON
Проведем ET || NP получим прямоугольник. Тогда  NT = EP = 5, значит OT = ON - NT = 6 - 5 = 1
,
4) Рассмотрим ∆OTE - прямоугольный. ET² = EO² - OT² = 5² - 1² = 24
ET = √24 = 2√6
NP = ET = 2√6
,
5) PB = PN - NP = 8 - 2√6
CP = PC - PB = 16 - (8 - 2√6) = 8 + 2√6
подставляем найденное в уравнение
,
6) 
AL² = CP • PB / 4 = (8 + 2√6) • (8 - 2√6) / 4 = (64 - 24) / 4 = 40 / 4 = 10
AL = √10
Ответ: AL = √10