Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий  основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Конечно задания из первой части можно решать как угодно, главное просто ответ правильный дать.
Но решим строго пусть и дольше.
Нарисуем треугольник с описанной окружностью. А по сути окружность со вписанным в неё углом
Так как вписанный угол равен 120˚, а центральный угол опирающийся на эту же дугу в 2 раза больше, то центральный = 240˚ Но вся окружность 360°, значит центральный угол опирающийся на противоположную дугу = 360˚ - 240˚ = 120˚
Так как стороны центрального угла радиусы, равны друг другу, то получим такой же равнобедренный треугольник с общим основанием и равными углами. Значит стороны (радиусы) = 5
Тогда диаметр равен двум радиусам = 2•5 = 10
Ответ: 10
                                                                              

Эту задачу решили уже много веков назад, достаточно покопаться в архивах...
Существует общая формула для нахождения радиуса окружности с вписанным в нее любым треугольником.
R = abc / 4S или радиус равен произведению сторон треугольника деленному на четыре его площади.
Если площадь треугольника находить по формуле Герона
S = sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}
где p — полупериметр,    p = {a + b + c} / 2, то задача решается в два действия.
Вам надо только определить длину третьей стороны вашего треугольника. Поскольку он равнобедренный по условию - сделать это не сложно.
Опустите перпендикуляр из вершины треугольника с углом в 120 градусов до пересечения его с основанием. В итоге вы получите два прямоугольных треугольника, причем катеты этих треугольников, образуемые нашим перпендикуляром будут находиться против угла в 30 градусов.
А половинка третьей стороны исходного треугольника (почему половинка - думаю объяснять не надо) будет находиться против половинки угла при вершине исходного треугольника, т.е. против угла в 60 градусов. Длина её будет равна гипотенузе длиной 5 единиц умноженной на синус 60 градусов. Вся длина третьей стороны будет в два раза больше...
Ну, а дальше вооружайтесь калькулятором и считайте самостоятельно. Не забудьте, что найденный по формулам радиус - это лишь половинка искомого диаметра окружности.

Не штука сообразить, что этот треугольник будет частью вписанного в окружность правильного шестиугольника, раз угол при вершине равен 120 градусам. А для правильного шестиугольника его сторона равна радиусу описанной окружности. Стало быть, диаметр будет равне 10.