Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник и найдите отношение его площади к площади исходного треугольника.

Пусть дан ∆ABC и в нем 3 медианы AE; BF; CG.
Достроим  ∆ABC до параллелограмма ACBD (AD=BC, AD||BC и BD=AC, BD||AC) => ∆ABC = ∆BAD
(Почему я так решил сделать? Ну чтобы попытаться построить ? из медиан, самое простое это параллельно перенести конец одной медианы к началу другой. А делать это проще по параллельным прямым).
Таким образом. Поскольку ∆ABC = ∆BAD, то в этих треугольниках равны любые соответсвующие элементы. => Медиана BH треугольника BAD равна медиане AE треугольника ABC.
Теперь посмотрим на точки H и F - они являются серединами сторон AD и AC соответсвенно.
Тогда HF - средняя линия ∆DAC и по свойству средней линии HF= DC/2. Но DC - диагональ параллелограмма ACBD и в точке G другой диагональю делится пополам. То есть CG = DC/2
Таким образом получаем HF = CG
В результате получили ∆HBF составленный из отрезков равных трем медианам ∆ABC. Первая часть задачи доказана. Теперь посчитаем соотношение площадей
Пусть S₁ - Площадь исходного ∆ABC, причем заметим, S₁ - будет площадью и равного ∆BAD
S₂ - площадь ∆BHF, построенного из медиан.
Площадь S₂ состоит из площадей S∆BFK + S∆BHK
В свою очередь S∆BFK = S∆ABF - S∆AFK
S∆ABF = S∆ABC/2 = S₁/2
(так как у ∆ABF сторона AF в 2 раза меньше стороны AC в ∆ABC и общая вершина B, то есть высота одна и та же, то площади относятся как относятся стороны)
S∆AFK = S∆ABC/8 = S₁/8
(Так как AK = AG/2, AG = AB/2 => AK = AB/4; AF = AC/2 и S∆ABC = AB•AC•sin(A)/2; S∆AFK = AK•AF•sin(A)/2 = (AB/4)•(AC/2)•sin(A)�/2 = SS∆ABC/8)
Получаем S∆BFK = S₁/2 - S₁/8 = 3•S₁/8
Аналогично рассуждая получим  S∆BHK = S₁/2 - S₁/8 = 3•S₁/8
Таким образом получим S₂ = 3•S₁/8 + 3•S₁/8 = 3•S₁/4
И отношение площади ∆BHF к площади ∆ABC будет  S₂/S₁ = 3/4
Ответ: отношение площадей: 3/4