В прямоугольнике АВСD со сторонами 6 и 9 проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения.
а)  Докажите, что полученный четырехугольник – квадрат.
б)  Найдите площадь этого четырехугольника.

Биссектрисы углов прямоугольника отсекают от него равнобедренные прямоугольные треугольники с двумя углами по 45 градусов и одним в 90 - АВВ1, DCC1, CDD1,BAA1 (следуют из определения), а также отметив накрестлежащие углы, получим еще два прямоугольных равнобедренных треугольника с двумя углами по 45 и в 90 градусов A1OD1 B B1O1C1. Отметив вертикальные с прямыми углами углы, подсчитав, что BD1=A1C=B1D=A1C=3 получаем, что FOF1O1 квадрат.
Найдем теперь высоту треугольника AFB. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равно 1/4 площади квадрата со стороной равной AB, т.о. получаем, что S=6*6/4=9, а значит h=2S/a=2*9/6=3 и диагональ нашего квадрата (отняв от длины две равные высоты): 9-3-3=3
Ну и по формуле площади квадрата S=d**2/2 получаем что площадь квадрата
S=3*3/2=4,5