Даны два треугольника АВС и MNK, углы В и N – прямые, известно, что NK в два раза больше AB, MN – на 8 см больше NK, AB на 4 см меньше ВС. Найдите натуральное значение АС, при котором отношение площадей треугольников MNK и АВС будет натуральным числом.

               Даны два треугольника АВС и MNK, углы В и N – прямые
значит площадь треугольника АВС равна: S(ABC)= АВ*ВС/2
а площадь треугольника MNK равна: S(MNK) = MN*NK/2
отношение площадей треугольников MNK и АВС равно:
S(MNK) / S(ABC) = MN*NK / (АВ*ВС)
подставляем в данное выражение: NK = 2AB; MN = NK + 8; ВС = АВ + 4, получаем:
S(MNK) / S(ABC) = (2AB + *2AB / (АВ*(АВ + 4)) = 4
т.е отношение площадей треугольников MNK и АВС всегда равно 4... (т.е равно натуральному числу)
зачем же тогда в Условии указано, что АС - также должно быть натуральным числом?
давайте проверим, при каких значениях АС длины сторон треугольников MNK и АВС будут положительными вещественными числами
по теореме Пифагора:
AB² + ВС² = AC², подставляем сюда ВС = АВ + 4, получаем:
AB² + (АВ + 4)² = AC²
AB² + (АВ + 4)² > 4² = 16, для всех АВ > 0
значит AC > 4, при этом АС - натуральное число, значит AC ≥ 5
т.е для любого AC ≥ 5 найдется такое АВ > 0, при котором выполняется равенство:
AB² + (АВ + 4)² = AC²
вспоминаем, что по условию Задачи:
ВС = АВ + 4, значит ВС > АВNK = 2AB, значит NK > АВMN = NK + 8, значит MN > АВОтвет: для всех натуральных значений АС ≥ 5, отношение площадей треугольников MNK и АВС будет натуральным числом