a, b, c положительные числа и сумма их квадратов равна 1. Нужно доказать, что a+ b+ c  больше 1.

Пусть а+в+с=х, х>0
(а+(в+с))^2=х^2
а^2+2а(в+с)+в^2+2вс+�с^2=х^2 или:
1+2а(в+с)+2вс=х^2
2а(в+с)+2вс=х^2-1
Числа а, в, с по условию положительные, значит сумма слагаемых в левой части равенства больше 0,отсюда следует что и правая часть равенства больше 0.
х^2-1>0,отсюда :
х>1
                                                                              

Если положительное число меньше единицы, то его квадрат всегда будет меньше этого самого числа:
1/n > 1/n²,
ибо знаменатель квадрата возрастает при фиксированном числителе.
Если взять три любых таких числа, что сумма их квадратов будет в точности равна единице, то сумма самих чисел заведомо будет больше единицы, ибо каждое их этих трёх чисел больше каждого своего квадрата.