Даны попарно равные прямоугольники ABCD, BEFG, EHIJ, JKLM, KINL (см. рис.). Найдите градусную меру угла DGI.

Согласно рисунку к задаче в любом из равных прямоугольников длина большей стороны равна удвоенной длине меньшей стороны. Примем за единицу длину меньшей сторон, тогда в треугольнике DGI:
DI = 2+1+2 = 5
и по теореме Пифагора
для прямоугольного треугольника CDG
DG = (CD^2+CG^2)^0,5 = (2^2+1^2)^0,5 = 5^0,5,
а также для прямоугольного треугольника CGI:
GI = (CG^2+CI^2)^0,5 = (1^2+3^2)^0,5 = 10^0,5.
Пусть Х - искомая градусная мера угла DGI. Тогда по теореме косинусов для треугольника DGI:
DI^2 = DG^2+GI^2-2*DG*GI*cosX, и следовательно,
cosX = (DG^2+GI^2-DI^2)/(2*DG*GI) =
= ((5^0,5)^2+(10^0,5)^2-5^2)/(2*5^0,5*10^0,5) =
= (5+10-25)/(10*2^0,5) =
= -1/2^0,5.
Значит, Х = 135°.
Ответ: 135°.
                                                                              

Ставим произволтную точку к треугольнику DGC пооучаем прямоугольник. DG диагональ прямоугольника делит угол пополам. Угол DGC равен 45 градусов. BEGF прямоугольник угол G 90 градусов. 45+90=135.