Диагональ BD трапеции АВСD c основаниями AD и ВС разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и DC.
а) Докажите, что луч АС – биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известно, что BD=5 и АС=8.

по условию Задачи:
AB = BD и BD = ВС, следовательно:
AB = ВС, т.е треугольник ∆АВС - равнобедренный, значит:
∠ВАС = ∠ВСА
при этом:
∠ВСА = ∠САD (т.к АD ∥ ВС)
значит:
∠ВАС = ∠САD
следовательно луч АС – биссектриса угла ∠BAD
1.рассмотрим треугольник ∆АВС, по теореме косинусов:
ВС² = АВ² + АС² - 2*АВ*АС*cosα, отсюда получаем:
cosα = (АВ² + АС² - ВС²)/(2*АВ*АС) = АС²/(2*АВ*АС) = АС/(2*АВ) = 4/10 = 2/5
2.рассмотрим треугольник ∆ВСD
∠DВС = 2α
cos(∠DВС) = cos(2α) = 2cos²α - 1 = 2*4/25 - 1 = -17/25
по теореме косинусов:
СD² = ВD² + BС² - 2*ВD*BС*cos(∠DВС) = 2*ВD²*(1 - cos(2α)) = 2*25*42/25 = 84
СD = √84 = 2√21