Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О под прямым углом. Найдите площадь треугольника ADO, если ОВ=5, ∠АВС=90° и ∠CDB=45°.

Рассмотрим треугольник АВС - он прямоугольный, высота ВО делит его на два подобных треугольника АВО и ВСО, отсюда:
ОС/ОВ=ОВ/АО
ОВ²=ОС*АО
ОС*АО=5²
ОС*АО=25
АО=25/ОС
Теперь рассмотрим треугольник ОDС - он прямоугольный, а угол ОDС в нём равен 45°. Тогда по теореме о сумме углов треугольника угол ОСD тоже равен 45°, значит, треугольник ODC - равнобедренный и ОС=ОD=х.
Рассмотрим треугольник AOD, площадь которого нам нужно найти. Он прямоугольной, а площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть:
S(AOD)=(АО*OD)/2=(АО*х)/2
АО=25/ОС=25/х
Подставим АО, выраженное через х, в формулу нахождения площади треугольника:
S(AOD)=((25/х)*х)/2=12,5
Ответ: 12,5.