В прямоугольном треугольнике АВС, изображенном на рисунке, угол А в два раза меньше угла В, а гипотенуза АВ равна 18 см. Найдите катет BC.�

Условие неверное. Или рисунок неверной. Я не стану доказывать теорему о сумме углов в треугольнике равными 180˚. Из неё следует, что угол А равен 90/2 = 45˚, но и угол С равен углу А: 180 - 90 - 45 = 45˚. Значит, треугольник должен быть не просто прямоугольным, но и равнобедренным. То есть катеты должны быть равны, как на моём рисунке:
Если исходить из рисунка в задании, то решение невозможно. А если исходить из моего рисунка, то квадрат от 18 равен.
18² = 324,
а 324 пополам равно:
324/2 = 162, а корень из 162 равен:
√162 = 12,7279220614 ~ 12,7.
Проверяем:
√(12,7279220614²*2) = 18,0000000001 ~ 18.
Для варианта в задании решения нет. Невооружённым глазом видно, что сторона АВ больше стороны ВС почти в 2 раза. А для моего рисунка есть, и оно равно примерно 12,7 см, а если требуется точность, то 12,7279220614. 
                                                                              

Если угол А равен 0,5 угла В то это будет 45˚, потому что угол В прямой и составляет 90˚.
Исходя из этого треугольник равнобедренный и АВ=ВС. Каждый из катетов, согласно теоремы Пифагора, будет равен 0,5√(18^2), или, если верить калькулятору, 12,72792206135786
Проверим: √2*(12,7279220613578�6^2)=18
Как то так.

С учётом поправки (угол С прямой, угол А меньше угла В в два раза).
Сумма острых углов А и В прямоугольного треугольника равна 90°, значит, угол В равен 60° и угол А равен 30°.
Как известно, в прямоугольном треугольнике катет противолежащий углу в 30° равен половине гипотенузы, то есть ВС = 18/2 = 9 см.
Ответ: 9 см.