Это олимпиадная задача по математике, 8 класс.
Два тела движутся по окружности. Первое тело проходит окружность на 9 секунд быстрее второго. Через каждые 10 секунд тела встречаются.
Какую часть окружности каждое тело проходит в одну секунду?

Так же предложу классическое стандартное решение на движение.
Создаем табличку: S - расстояние в единицах длины окружности,  v - скорость в ед/сек, t - время прохождения окружности в сек
Определим длину окружности в 1 единицу
Тогда первое тело (назовем  А): S = 1; v = a; t = 1/a
Второе тело (назовем  B): S = 1; v = b; t = 1/b
при этом a>0, b>0 - положительные скорости
По условию 1/b - 1/a = 9 сек
или a - b = 9ab (1) уравнение
А вот дальше в задаче есть огрех или подвох (я потом поясню почему это огрех, а не так задумано, хотя всё может быть, но исходя из олимпиады считаем, что так задумано)
В задаче не указано куда движутся тела. И получается 2 варианта:
1 вариант
Тела движутся в одну сторону догоняя друг друга
Тогда каждые 10 сек будет пройден круг, но при этом А догоняет B и их результирующая скорость v = (a-b) и тогда время на 1 круг t = 1/(a-b) = 10 сек
Откуда получаем 10a - 10b = 1 (2) уравнение
Умножим уравнение (1) на 10 и отнимем уравнение (2)
Получим 90ab = 1 или a = 1/(90b)
Подставим в уравнение (2)
1/(9b) - 10b = 1 (умножим на 9b>0)
90b² + 9b - 1 = 0
D = 81 + 360 = 441
b = (-9 + 21)/180 = 12/180 = 1/15, второй корень отрицательный - не удовлетворяет условию.
a = 1/90 : 1/15 = 15/90 = 1/6
Ответ: 1 тело 1/6 части в секунду; 2 тело 1/15 части в секунду
2 вариант
Тела движутся навстречу друг другу.
Тогда каждые 10 секунд будет пройден круг но с суммарной скоростью v = a+b
и время t = 1/(a+b) = 10 секунд
или 10a + 10b = 1
откуда a = 0,1 - b
подставим в уравнение (1)
0,1 -  b - b = 0,9b - 9b²
90b² - 29b + 1 = 0
D = 481 ≈ 21,93
b₁ = (29 - √481)/180 ≈ 0,03926826555
a₁ = 0,1 - (29 - √481)/180 = (- 11 + √481)/180 ≈ 0,1 - 0,03926826555 = 0,06073173444
Это решение удовлетворяет
b₂ = (29 + √481)/180 > 0
a₂ = 0,1 - (29 + √481)/180 = (- 11 - √481)/180 < 0
Это решение не удовлетворяет.
Ответ: 1 тело (- 11 + √481)/180 части в секунду; 2 тело (29 - √481)/180 части в секунду
Таким образом в задаче 2 решения. Это правомерно и вполне даже по олимпиадному, кроме как очень громоздкого второго ответа. Но может в этом была задумка в олимпиаде - работать с громоздкими числами.
                                                                              

Это математическая задача, однако она требует знания элементарной физики. В частности, нескольких формул движения тел по окружности.
Время, за которое тело проходит всю окружность, — это период. У нас два тела: быстрое и медленное. Давайте, чтобы не мучить нагромождением индексов, я период быстрого тела (первого) обозначу в виде t, а период медленного тела (второго) — в виде T.
Первое уравнение таково: T = t + 9.
Чтобы составить второе уравнение, нужно понять, как вычисляют скорость при движении по окружности. Линейная скорость при движении по окружности — это отношение длины окружности C к периоду обращения. Но что значит, что тела периодически встречаются? Чтобы они встретились, надо, чтобы быстрое тело догоняло медленное, а это достигается за счёт избытка скорости. Тела встречаются через каждые 10 секунд — значит, если разделить полную длину окружности C на скорость сближения, то получится 10. А скорость сближения равна разности скоростей быстрого и медленного тел.
Я обозначу скорость быстрого тела в виде V, а скорость медленного в виде v. Большой скорости соответствует малый период и наоборот.
Второе уравнение будет такое: C/(V – v) = 10.
Давайте поработаем с ним. V = C/t; v = C/T. Подставим это в уравнение. Выходит:
C/(V – v) = 10;
C : (C/t – C/T) = 10;
C : [(CT – Ct)/(T * t)] = 10     (привели к общему знаменателю);
CTt/[C * (T – t)] = 10     (знаменатель знаменателя перешёл в числитель; следующим шагом сокращается величина C);
Tt/(T – t) = 10. Вот новый вариант второго уравнения.
А теперь вместо T мы можем подставить его значение из первого уравнения, то бишь t + 9. Получится уже уравнение с одним неизвестным.
[(t + 9) * t] : (t + 9 – t) = 10;
(t² + 9t) : 9 = 10;
t² + 9t = 90;
t² + 9t – 90 = 0.
Вычисляем дискриминант: D = 9² – 4 * 1 * (–90) = 81 + 4 * 90 = 81 + 360 = 441.
Квадратный корень извлекается нацело: √(D) = √(441) = 21.
Находим корни (я обычно вычисляю их в порядке возрастания: сначала меньший, затем больший).
t₁ = [–b – √(D)] : (2 * a) = (–9 – 21) : 2 = –15;
t₂ = [–b + √(D)] : (2 * a) = (–9 + 21) : 2 = 6.
Но ясно, что отрицательный корень смысла не имеет. Мы искали период вращения, а это время. Время не может быть отрицательным. Значит, остаётся только положительный корень. Делаем вывод: t = 6.
Надо теперь ещё найти T: T = t + 9 = 6 + 9 = 15.
Мы нашли периоды тел: 6 и 15 секунд. Требуют ещё найти, какую часть окружности проходит каждое тело за одну секунду. Но это уже совсем просто! Если первое тело проходит всю окружность за шесть секунд, то за 1 с оно пройдёт 1/6 часть окружности. Соответственно, второе, более медленное тело, при периоде в 15 с за 1 с пройдёт 1/15 часть окружности. Фактически от нас потребовали найти частоты: у первого тела частота равна (1/6) Гц, а у второго тела — (1/15) Гц.
Ответ: первое тело в одну секунду проходит одну шестую часть окружности, а второе тело — одну пятнадцатую.