Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание ВС равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти как произведение высоты на полусумму оснований деленное на 2. ВС известно, нужно найти АD и высоту.
Обозначим через M — середину AB. По условию DM биссектриса угла ADC, продолжим ее  до пересечения с продолжением основания BC. Пусть Е точка пересечения.  По свойствам параллельных прямых, углы ∠CED = ∠ADE, но ∠ADE = ∠CDE, поэтому ∠CED = ∠CDE, то есть треугольник ECD — равнобедренный, значит ЕC = CD = 41. Можно найти  AD из равенства треугольников AMD и BME. Оттуда AD = BЕ, ВЕ = ЕС-ВС = 41-16=25. Значит  AD = 25.
Пусть СК параллельна стороне AB (К точка пересечения AD и СК). КD=AD -АР=25-16=9. Рассмотрим треугольник CKD, он прямоугольный, так как выполняется равенство: CD^2=KC^2+KD^2. Значит СК CК — высота трапеции. СК=АВ=40. Площадь трапеции S (ABCD)= (16+25)*40/2 = 820. Ответ: 820.