Фабрика получила заказ на изготовление 1005 деталей типа А и 2010 деталей типа В. Каждый из 192 рабочих фабрики затрачивает на изготовление двух деталей типа А время, за которое он мог бы изготовить одну деталь типа В. Каким образом следует разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?

Вроде должна быть хорошая задача, но плохое условие.
Во первых не понятно что считать за наименьшее время.
Вариант 1: наименьшая Сумма времени затраченного каждой бригадой
или
Вариант 2: наименьшее время с момента старта и до конца работы обеих бригад.
Изюминкой на торте при этом еще: из контекста подразумевается, что один человек делает 1 деталь. А это накладывает, то что к некому моменту времени часть бригады может быть без работы. (на цело не делится количество людей на детали). Ну я проигнорирую эту изюминку. И буду подразумевать, что там конвейерный метод изготовления (непрерывный)
Начну с Варианта 2:
Наименьшее время будет, если как можно меньше простоев будет у одной из бригад. В идеале, если они начнут и закончат одновременно.
Деталей B в 2 раза больше чем деталей А: 2010:1005 = 2. На изготовление 1 детали B надо столько же времени как и на изготовление 2 деталей A. То есть деталь B в 2 раза дольше изготавливают и их в 2 раза больше, то понадобиться в 4 раза больше времени на изготовление всех деталей B, чем всех деталей A
То есть на изготовление всех деталей A понадобится х человек, а на изготовление деталей B - в 4 раза больше - 4х.
Получаем: х+4х = 192; 5х = 192; х = 38 (2 в остатке)
Таким образом: Бригада 38ч на изготовление деталей А и бригада 152ч на изготовление деталей B. И у нас остается 2 человека, которых мы добавим в бригады Бригадирами.
Если мы добавим 2 человек в какую нибудь одну бригаду, то время работы фабрики не изменится. Потому что 1 закончит раньше, а вторая будет работать дальше как и раньше.
Итого получается в бригаде A - 39 человек, в бригаде B - 153 человека. Для того чтобы фабрика проработала с минимальным временем с момента старта
Вариант 1
Пусть x - человек в бригаде A, тогда (192-х) в бригаде B
В предыдущем варианте выяснили, что бригаде B надо сделать в 4 раза больше
поэтому получим уравнение  y = 1/x + 4/(192-x) - общее время
Чтобы y было минимальным, посчитаем производную и приравняем к нулю
y' = (1/x + 4/(192-x))' = -1/x² + 4/(192-x)²
приравняем к нулю, приведем к общему знаменателю и приведем подобные. Получим квадратное уравнение: x²+ 128x - 12288 =0
Решаем. получим корни x = 64 и x = 128
В Бригаде A - 64 человека , а в бригаде B - 128
тогда суммарное время будет минимальным   
                                                                              

Но сразу видно, что деталей В типа в два раза больше деталей А типа: 2010/1005 = 2.
И в то же время на изготовления детали типа А потребуется в 2 раза больше времени, чем на изготовление детали типа В. А если так, то количество рабочих будет не равно. Меньшая часть будет изготавливать деталь А, а большая часть рабочих будет изготавливать деталь В.
Всего их было 192. Но для детали А понадобится 1 часть рабочих, а для деталей Б 2 части. Всего 3 части.
192/3 = 64. Но надо проверить, вдруг здесь подвох? Сколько времени понадобится 64 рабочим для изготовления деталей А. И сколько времени потребуется 64*2 = 128 рабочим на изготовление деталей В?
Проверка:
Принимаю всё время за изготовление деталей А:В = 1/2. Вычисляю:
1/(64×1005) = 0,00001554726 единиц времени. Столько времени затратит один рабочий на изготовление 1 детали типа А.
2/(128*2010) = 0,00000777363 единиц времени. Столько времени затратит один рабочий на изготовление 2 деталей типа В.
Но рабочих то двое изготавливают детали В. Значит надо было время умножить на 2.
0,00000777363*2 = 0,00001554726 То есть в одной бригаде 2-е рабочих затрачивают столько же времени, сколько один, и их там в 2 раза больше 128 против 64. Значит они затратят равное время обе бригады.
Мой ответ: Чтобы выполнить заказ за наименьшее время, потребуется бригаду из 192 человек поделить на две бригады по 64 человека и 128. меньшей бригаде в 64 человека дать задание изготавливать детали В, а большей в два раза 128 человек детали А.

Коли уж имеем такое условие задачи, что:
то положим, что деталей типа А было не 1005 штук, а 2010 штук (при этом время на изготовление детали типа А и детали типа В будет одинаковое), тогда на изготовление всех деталей типа А нужно столько же времени, как и на изготовление всех деталей типа В, откуда следует простой вывод - рабочих нужно поделить поровну на две бригады по 96 человек в каждой бригаде.
Ответ: две бригады по 96 человек.

B-деталей в два раза больше, чем A-деталей.
При этом на изготовление B-детали требуется в два раза больше времени, чем на изготовление A-детали.
Один рабочий из А-бригады за время t изготовит 2 A-детали.
Один рабочий из B-бригады за время t изготовит 1 B-деталь.
Значит, чтобы уравнять время (и таким образом его минимизировать), изготовлением B-деталей должно заниматься двое рабочих на каждого одного рабочего-изготовителя A-деталей.
Но при этом B-деталей вдвое больше. Значит, пока один A-рабочий будет делать две A-детали, рабочие B-бригады должны успеть изготовить не две, а четыре B-детали. Значит, во второй бригаде должно быть четверо рабочих на каждого рабочего A-бригады.
Получается, что весь коллектив надо разделить на пять групп, четыре из которых будут заниматься B-деталями.
192 : 5 = 38 (2 рабочих в запасе)
38 * 4 = 152  (рабочих)
Надо теперь понять, в какую из бригад определить двух рабочих, если в первой бригаде - 38, а во второй - 152 (в сумме - 190).
За одну и ту же единицу времени B-бригада изготовит 152 B-детали (из 2010), а в первой бригаде каждый рабочий успеет изготовить две A-детали, т.е. 76 (из 1005).
Всего будет затрачено времени:
2010 : 152 = 13,224 (ед.вр.)
1005 : 76 = 13,224 (ед.вр.)
Вычислим остаток деталей, которые будут изготовлены в 14-ю единицу времени:
2010 - (152 * 13) = 2010 - 1976 = 34 (B)
1005 - (76 * 13) = 1005 - 988 = 17 (A)
Это значит, что 34 рабочих B-бригады изготовят оставшиеся 34 B-детали за 14-ю единицу времени, а 17 рабочих A-бригады за половину этого времени изготовят оставшиеся 17 A-деталей. Т.е. на изготовление всех деталей так или иначе будет потрачено ровно 14 условных единиц времени.
Посмотрим, получится ли это время сократить хотя бы на 1/2 единицы. Для этого B-бригада должна уложиться в 13 единиц, а у A-бригады должно остаться деталей не более количества рабочих в бригаде.
Для этого, особо не церемонясь, определим резерв из двух рабочих во вторую бригаду:
2010 : 154 = 13,052
2010 - (154 * 13) = 2010 - 2002 = 8 B-деталей ещё останется на 14-ю единицу времени.
Остаётся последняя надежда — переместить одного рабочего из A-бригады в B-бригаду, чтобы получить окончательный результат.
1005 : 74 = 13,581
1005 - (74 * 13) = 43 A-детали останется изготовить A-бригаде на 14-ю единицу времени, если там окажется 37 рабочих. А 37 рабочих никак не изготовят 43 детали за 1/2 ед. времени — 6 деталей 6 человек доделают только к концу 14-го периода.
Таким образом, мой ответ таков: чтобы изготовить детали за минимально возможное время, бригада изготовителей A-детали может состоять от 36 до 48 человек, а B-бригада — от 144 до 156 человек. В этих диапазонах будет потрачено 14 единиц времени, если одна единица времени равна времени изготовления одной B-детали.
P.S. Диапазоны проверил в excel, здесь не стал расписывать, и так многословно получилось.

Поскольку деталь типа "В" изготовляется в два раза медленнее, чем деталь типа "А", да и деталей типа "В" в два раза больше, чем деталей типа "А", то время на изготовление всех деталей типа "В" уйдёт в четыре раза больше, чем времени на изготовление всех деталей типа "А" (одинаковым количеством рабочих, разумеется).
Итого, имеем пять частей времени на изготовление всех деталей, одна часть времени для деталей типа "А" и четыре части времени для деталей типа "В".
Но, поскольку количество рабочих в 192 человека не кратно пяти, то любое их деление по бригадам не может дать минимальное время работы.
У нас в задаче есть условие, что каждая бригада должна заниматься только изготовлением деталей одного типа, потому делить детали типа "А" и типа "В" между бригадами для одновременной их обработки нельзя.
Это - да, но не уточняется - это условие сохраняется на всё время работы, или для какого-то любого текущего отрезка времени.
А если прямого запрета в условии нету, то будем считать, что бригады в середине работы могут поменять свой род деятельности.
И так, разделим рабочих на две бригады - Б64 и Б128, численностью в 64 и в 128 человек соответственно.
Пусть в первую половину работы бригада Б64 занимается изготовлением деталей типа "В", а бригада Б128, соответственно, деталями типа "А".
Как только бригада Б128 изготовит 536 деталей типа "А" работа на мгновение приостанавливается.
За это время бригада Б64, имея в два раза меньше человек, чем бригада Б128 и занимаясь деталями типа "В" трудоёмкостью в два раза сложнее, сумеет изготовить деталей типа "В" в четыре раза меньше, то есть:
536 / 4 = 134 деталей типа "В".
У нас остаётся:
1005 - 536 = 469 деталей типа "А" и
2010 - 134 = 1876 деталей типа "В",
а теперь бригады меняются местами - бригада Б64 начинает изготовлять детали типа "А", а бригада Б128 изготовляет детали типа "В", в результате чего бригады закончат работу строго одновременно, ибо отношение их выработки тоже будет, как:
1876 / 469 = 4 раза
Ответ: бригады нужно разбить на 64 и 128 человек.