1×1!+2×2!+...+n×n!=(n+1)!
(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(1+2+3+...+n)^2

1) Ошибка. Должно быть так:
1 + 1*1! + 2*2! + ... + n*n! = (n+1)!
Для n = 1
1 + 1*1! = 1 + 1 = 2
(n + 1)! = (1 + 1)! = 2! = 2
Верно для n = 1. Пусть равенство верно для какого-то n:
1 + 1*1! + 2*2! + ... + n*n! = (n+1)!
Докажем, что оно также верно для n+1
1 + 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + (n+1)*(n+1)! = (n+2)!
Имеем:
(n+1)! + (n+1)*(n+1)! = (n+1)!*(1 + n + 1) = (n+1)!*(n+2) = (n+2)!
Что и требовалось доказать.
2) Для n = 1
1^3 = (1)^2
Верно для n = 1. Пусть равенство верно для какого-то n:
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2
Докажем, что оно также верно для n+1
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = (1 + 2 + ... + n + n+1)^2
Правую часть разложим как квадрат суммы
(1 + 2 + ... + n + n+1)^2 = ((1 + 2 + ... + n) + (n+1))^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + 2(1 + 2 + ... + n)(n+1) + (n+1)^2
Сумму (1 + 2 + ... + n) можно представить как арифметическую прогрессию.
1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
Получаем
(1 + 2 + ... + n)^2 + 2(1 + 2 + ... + n)(n+1) + (n+1)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + 2n(n+1)/2*(n+1) + (n+1)^2 =
= (1 + 2 + ... + n)^2 + n*(n+1)^2 + (n+1)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n+1)^2*(n+1) = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n+1)^3
А левая часть
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n+1)^3
То есть левая и правая части равны одному и тому же выражению.
Что и требовалось доказать.
В обоих случаях метод математической индукции означает:
Если равенство верно для n = 1, то оно верно и для n = 2, n = 3, и так далее, для любого n.