Есть две функции f(x) и g(x) неизвестного вида.
Известны значения производных f'(a) и g'(a) в некоторой точке а.
Найти предел отношения
(f(x)*g(a) - f(a)*g(x)) / (x-a)
При х, стремящемся к а.
Как решать такую задачу?

Вот, давайте вот этот вариант попробуем.
                                                                              

Вроде бы ответ должен зависеть от значений самих функций в точке a.
Если функции f и g в точке a равны нулю, формула даст 0, если они равны единице - то разности производных (в общем случае не ноль).
Мне кажется, в условии должны быть известны значения самих функций. В качестве контрпримера предлагаю варианты (а=0 в обоих случаях):
1) f(x)=2x, g(x)=x   предел равен нулю т.к. нулевой числитель
2) f(x)=2x+5  g(x)=x+1
предел при х --> 0 равен ((2х+5)*1-5*(х+1))/х = lim (-3x/x) = -3
то есть получаются разные значения искомого выражения для функций с одинаковыми производными в нуле, но не одинаковыми значениями в нуле.

Пожалуйста, вот решение: https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/many/?X=x&Y=y&Z=z&func�tion=%28f%28x%29*g%28a%29+-+f%28a%29*g%28x%29%29+%2F+%28x-a%29. Надеюсь, помог вам!

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + - сложение, - - вычитание, * - умножение, / - деление, ^ - возведение в степень.Допускаются также следующие функции: sqrt - квадратный корень,exp - e в указанной степени,lb - логарифм по основанию 2,lg - логарифм по основанию 10,ln - натуральный логарифм (по основанию e),sin - синус,cos - косинус,tg - тангенс,ctg - котангенс,sec - секанс,cosec - косеканс,arcsin - арксинус,arccos - арккосинус,arctg - арктангенс,arcctg - арккотангенс,arcsec - арксеканс,arccosec - арккосеканс,versin - версинус,vercos - коверсинус,haversin - гаверсинус,exsec - экссеканс,excsc - экскосеканс,sh - гиперболический синус,ch - гиперболический косинус,th - гиперболический тангенс,cth - гиперболический котангенс,sech - гиперболический секанс,csch - гиперболический косеканс, abs - абсолютное значение (модуль), sgn - сигнум (знак), logp - логарифм по основанию p, например log7(x) - логарифм по основанию 7, rootp - корень степени p, например root3(x) - кубический корень