В треугольнике ABC угол B равен 36°, AB=BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

Если речь заходит о равнобедренных треугольниках, у которых две стороны обязательно равны, я первым делом представляю себе его вершину где-то в верхней части тетрадного листа. От неё под одинаковым углом к вертикали вниз проводятся отрезки, которые равны по своей длине. А потом нижние концы этих отрезков соединяет горизонталь - основание равнобедренного треугольника. Это выглядит примерно следующим образом:
Согласно заданию, предложенному автором, угол ∠ABC = α = 36°. В то же время угол ∠BAC делит пополам биссектриса AD - на два одинаковых ∠DAB = ∠DAC = β. Думается, что для решения задачи нам понадобится в первую очередь отыскать величину именно этого угла. Но первым делом я предлагаю вернуться к большому треугольнику и разобраться с ним. Давайте поинтересуемся его свойствами:
Как любопытно - первое же из перечисленных свойств равнобедренного треугольника нам именно сейчас может пригодиться. Ведь, если ∠ABC равен 36°, а два других равны между собой, можно вычислить их величины:
∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°∠BCA + ∠BAC = 180° - ∠ABC = 180° - 36° = 144° и тогда∠BCA = ∠BAC = 144° / 2 = 72°Но ведь сказано, что отрезок AD является биссектрисой - стало быть, делит угол ∠BAC пополам:
∠BAD = ∠DAC = ∠BAC / 2 = 72° / 2 = 36°Но ведь в треугольнике ∆ABD уже есть один один угол такой величины. Смотрим ещё раз на свойства, которые перечислены на второй иллюстрации. На сей раз читаем в конце - «все свойства обратимы...». Следовательно, если при одной стороне треугольника обнаруживается два одинаковых угла, две другие стороны непременно будут равны. Отсюда следует:
∠α = ∠βAD = BDЭтого вполне достаточно для доказательства того, что треугольник ∆ABD является равнобедренным.
P.S. Кстати, равнобедренным является и ещё один треугольник - ∆ACD. Если не верите, найдите величины углов ∠ADC и ∠ACD, чтобы убедиться. Удачи на дорогах!