Как решить задачу Мишустина: X в степени х, в степени х и так до бесконечности равно N (натуральное число)?

Если вопрос именно "как" - то ответ простой: в уме. Совершенно очевидно, что у этого уравнения есть как минимум два корня: х1 = 0, х2 = 1, при условии, что N=1.
И не штука сообразить, что это два единственных решения. Во-первых, x не может быть отрицательным числом, потому что далеко не всякое отрицательное число можно возвести в степень самого себя (только отрицательные целые числа). Во-вторых, если 0 < x < 1, то при бесконечном возведении числа в степень самого себя в пределе получится 0. Ну-у, если относить 0 к натуральным числам (что принято далеко не везде - тут недавно даже задавался такой вопрос), то тогда корнем уравнения можно считать любое положительное число, меньшее 1,  при условии, что N=0.
Если x > 1, то бесконечное возведение числа в степень, превышающую 1, даст бесконечность, и ни при каком конечном N решение существовать не может.
Сухой остаток: решение уравнения возможно только при N=0 и N=1. В первом случае корнем будет любое x из интервала (0, 1), во втором случае решение х=0 и х=1.