Игральный кубик бросают до тех пор, пока шестерка не выпадет два раза, не обязательно подряд. Найдите математическое ожидание случайной величины «число сделанных бросков».

Для решения данной задачи надо понимать про случайные величины и про математическое ожидание.
Если начинать составлять таблицу случайных величин с их вероятностями в лоб, то довольно легко выводится формула подсчета вероятностей, каждой величины. Но вот дальше найти математическое ожидание, то есть суммировать произведение всех величин на их вероятности составит сложность.
Для интереса составим таблицу значений. Пусть p = 1/6 - вероятность появления "6" в каком нибудь броске. Тогда q = 5/6 - вероятность не выпадения "6"
(неискушенному читателю этот пункт можно пропустить до следующей черты решение будет там)
Случайные величины: Хᵢ: 1 бросок; 2 броска; 3 броска; и т.д.
Вероятности этих случайных величин P(Xᵢ): P(1) = 0 (за 1 бросок две шестерки не выпадет)
P(2) = p² = 1/36
P(3) = C²₃•p²•q и.т.д.
P(i) = C²ᵢ•p²•qⁱ⁻²
И математическое ожидание M(X) = сумме всех Xᵢ•P(Xᵢ), то есть M(X) = ∑(i=1;∞) (i • C²ᵢ•(1/6)² • (5/6)ⁱ⁻²). Что с этим делать школьник не знает
Решим по другому. Воспользуемся одним из свойств Математического ожидания:
M(X+Y) = M(X) + M(Y)
Пусть (Х+Х) - случайная величина выпадения 2 шестерок, а Х - случайная величина выпадения 1 шестерки.
Тогда составим таблицу случайных величин выпадения 1 шестерки.
Случайные величины: Хᵢ: 1 бросок; 2 броска; 3 броска; и т.д.
Вероятности этих случайных величин P(Xᵢ): P(1) = p = 1/6
P(2) = q•p = (5/6)•(1/6)
P(n) = p•qⁿ⁻¹
То есть имеем геометрическое распределение и его M(X) = 1/p
То есть M(X) = 1: 1/6 = 6
Соответственно M(X+X) = 6 + 6 = 12
Ответ: 12
Простые рассуждения: Для появления 2 шестерок наиболее частый вариант будет 12 бросков. Оно и понятно. В среднем для выпадения каждой шестерки надо сделать по 6 бросков.
Но строгое решение с построением таблицы и суммированием.
Если школьник не знает формулы мат ожидания геометрического распределения, то он её может вывести сам используя интегрирование, производную и геометрическую прогрессию.
Проведем вывод этой формулы:
Итак по таблице получили M(x) = 1•p + 2•pq + 3•pq² + ... + n•pqⁿ⁻¹
Вынесем общий множитель p:  M(x) = p•( 1 + 2•q + 3•q² + ... + n•qⁿ⁻¹) = p•f(q) (обозначим сумму в скобке за некую функцию от q)
Посчитаем первообразную этой функции F(q) = ∫(1 + 2•q + 3•q² + ... + n•qⁿ⁻¹)dq = q + q² + ... + qⁿ - А это есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с q < 1
И она равна q / (1-q)
Вернемся к функции f(x) = F'(x) = (q/(1-q))' = (q'•(1-q) - q•(1-q)') / (1-q)² = 1/ (1-q)²
А учитывая, что 1-q = p, получаем f(q) = 1/p²
M(X) = p • 1/p² = 1/p