Попалась тут интересная задача:
Точка пересечения высот равнобедренного треугольника лежит на его вписанной окружности с радиусом R.
Найдите длину основания треугольника.
Внимание, вопрос: такие треугольники вообще бывают?
Я для примера нарисовал равнобедренный треугольник, высоты в нем и вписанную окружность.
Никак не может точка пересечения высот находиться на вписанной окружности!

Такой треугольник существует. Точка пересечения высот будет находиться на высоте к основанию и в зависимости от угла вершины будет двигаться от основания до вершины треугольника и выше. Например если угол на вершине близок к 0°, то точка пересечения будет находиться у основания. Если угол на вершине = 90°, то точка пересечения высот будет в самой вершине треугольника. Если больше 90° то точка пересечения высот уйдет за пределы треугольника. Таким образом точка пересечения высот может быть в любой точке на высоте к основанию в промежутке от основания до вершины. Там же будет проходить окружность. На рисунке привожу пример. Его угол при вершине будет близок к 90°
                                                                                 

У меня чертёж немного кривоватый получился. Но смысл надеюсь понятен. Угол AGB ~ 90°. Угол GBA = углу GAB, и они равны (180 - 90)/2 = 45°
Тангенс угла 45° = 1. Значит GF = FB. Но GF = 2R или диаметру. Значит FB = 2R.  Высота CF делит сторону АВ пополам. Значит основание АВ большого треугольника АВС равно 4R или 2 диаметра вписанной окружности. 
Конечно мой ответ приближённый, но в допустимых пределах. К тому же вопрос был о том, что бывают ли такие треугольники? Я ответила: "Бывают". А основание равно примерно 4 радиуса вписанной окружности.
P.S. более чёткий чертёж у ОлегаТ. На нём всё отлично видно, где 90°.

Используем обозначения на рисунке, который выложил ОлегТ
Треугольник EFB подобен треугольнику AGB (оба прямоугольные и имеют общий угол).
Отсюда угол ВАС равен углу EFB.
Треугольник AGB подобен треугольнику ACE (оба прямоугольные и имеют общий угол).
Отсюда угол ACE равен углу ABG.
Обозначим угол ВАС за х. Тогда АСЕ равен pi/2 - x
EFB равен х, EBF равен pi/2 - x
AE = EB = 0,5 AB = a/2
FE = 2R
FE/EB = tg (pi/2 -x)=ctg x; 4R*tg x = a; tg x = a/(4R).
CE / AE = tg x ; CE = 0,5 a tg x.
S(ABC) = AB * CE/2 = 0,25 a^2 tg x
AC = BC = AE / cos x = a / (2 cosx)
Существует формула связывающая стороны и площадь треугольника с радиусом вписанной окружности. В нашем случае
R = 2S/(AB+BC+AC) = 0,5 a^2 tg x / (a + a/cos x)
1/cos^2 x = 1 + tg^2 x = 1 + a^2 /(16 R^2)
R = a^2 / (8R(1 + sqrt(2 + a^2 /(16 R^2) ))
8 R^2 (1 + sqrt(2 + a^2 /(16 R^2) ))) = a^2
sqrt(2 + a^2 /(16 R^2)) = (a^2 / (8R^2)) - 1
Возводим обе части в квадрат
2 + a^2 /(16 R^2)  = a^4 / (64 R^4) - 2 a^2 / (8R^2) - 1
Избавляемся от знаменателей, получаем биквадратное уравнение относительно а.
64R4 + 4 R^2 a - a^4 + 16 R^2 a^2 = 0
a^4 - 20 R^2 a^2 - 64 R^4 =0
a^2(1,2,3,4) = 10 R^2 +- sqrt(100 R^4 - 64 R^4) = (10 +- 6)R^2
a1 = 2 R;
a2 = 4 R.
Вариант a = 2R представляет "треугольник"  с двумя прямыми углами у основания.
Можем посчитать его вырожденным, или просто отбросить этот вариант решения.

Если точка пересечения высот действительно лежит на окружности, а не в точке её центра, то экспериментальным путём у меня получился такой вариант:
На рисунке приведена также формула нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.
Можно ли по известным данным (а известен нам только радиус) найти здесь длину основания — не знаю. А вот в случае, если высоты пересекаются в центре окружности, тогда, как здесь уже написали, мы имеем дело с равносторонним треугольником и одной неизвестной величиной a=b, которую можно найти, зная радиус.

Любой равносторонний треугольник это частный случай равнобедренного. А у него, правильного треугольника, и высоты и биссектрисы и средние линии, все пересекаются в центре вписанной окружности.
Так что бывают.

Давайте рассуждать. Первое. В любой треугольник можно вписать окружность и ее центр находится в точке пересечения биссектрис. Второе. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой, значит центр окружности находиться на этой высоте. Третье. Диаметр окружности является частью этой высоты. Четвертое. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот может находиться на любой точке этой высоты в зависимости от угла при вершине. И наконец, пятое. При каком то значении угла при вершине эта точка будет находиться на окружности. Ответ: да, такой треугольник существует.

Лично я считаю что это не возможно,как точка пересечения высот может находить в окружности,это противоречит всем моим знаниям геометрии.Скорее всего это просто опечатка либо проверить знания геометрии.