Напротив дома, в котором живут Артем и Гоша, растет дерево. Братья решили с помощью оптики определить его высоту, не выходя из комнаты.  Артем использовал для этой цели свои очки +2 диоптрии. Он сфокусировал изображение дерева на противоположную стену от окна. Высота изображения оного составила 50 мм. Затем Гоша аналогично, используя насадочную линзу от фотоаппарата, получил резкое изображение на стене исследуемого объекта высотой 101 мм. Измеренное расстояние от линзы до стены составило 1010 мм.
Какова высота дерева?

Итак сначала получили первое изображение на стене (на рисунке зеленая линза и зеленое изображение). Расстояние от линзы до дерева a₁, от линзы до стены b₁, высота изображения h₁ = 0,05м и высота дерева H.
Из подобия треугольников получаем a₁/b₁ = H/h₁; откуда a₁ = H•b₁/0,05 = 20H•b₁;
a₁ = 20H•b₁;
Из уравнения тонкой линзы (тут выводить не буду) 1/a₁ + 1/b₁ = 1/F = D; (D = +2 по условию)
1/(20H•b₁) + 1/b₁ = 2
(1+20H) = 40H•b₁
b₁ = (1+20H)/40H
Теперь второе изображение на стене (на рисунке красная линза и красное изображение). Расстояние от линзы до дерева a₂, от линзы до стены b₂ = 1,01м, высота изображения h₂ = 0,101м и высота дерева H.
Из подобия треугольников получаем a₂/b₂ = H/h₂; откуда a₂ = H•1,01/0,101 = 10H;
a₂ = 10H;
А теперь заметим, что расстояние от стены до дерева никак не менялось, то есть:
a₁ + b₁ = a₂ + b₂; Подставляем наши данные
20Н•(1+20H)/40H + (1+20H)/40H = 10H + 1,01
20H + 400H² + 1 + 20H = 400H² + 40,4H
0,4H = 1
H = 1/0,4
H = 2,5м
Ответ: Высота дерева 2,5 метра
                                                                              

А, по-моему, высота дерева около 5 метров. Каковы мои рассуждения? Обойдусь без формул. В оптике всё не так. +2 диоптрии это фокусное расстояния 50 см. Но в реальности всё не так. Зачем же объектив фотоаппарата всё время надо выкручивать при близком расстоянии, а при далёком вкручивать? Тоже самое и с самодельным телеобъективом. Трубки всё время двигаешь с линзами одна в другую.   
Я предположу, что линза фотоаппарата имеет фокусное расстояние в 1 метр = 1000 мм. Но такое расстояние будет если объект сильно удалён. на километр или дальше. А если он всего на расстоянии метр - яркая лампа? её размер 5 см. и на стене будет такой же размер её фокуса, а на расстоянии 100 метров в 100 раз меньше. Я предполагаю, что расстояние было 100 метров. Почему? Я разделила расфокусировку линзы в 10 мм относительно 1000 мм. У меня получилось 100. Но верить формулам в оптике нельзя, по крайней мере простеньки. Там гораздо сложнее формулы.
Но я предположила, что метод приближённых измерений здесь сгодится, и поэтому умножила 5 мм изображение от второй линзы на 100 и получится 500 мм или 5 метров.
Возможно мои рассуждения не верны. Но мой ответ: Высота дерева 5 метров.   

Насадочные линзы (макролинзы) объектива фотоаппарата бывают +1 Дптр и +2 Дптр. Гоша использовал макролинзу +1 Дпт, об этом также говорит разница полученных изображений: 50 мм для линзы очков и 101 мм для макролинзы. 1 Дптр равна оптической силе линзы с фокусным расстоянием F=1 метр.
Формула тонкой линзы:
1/F=1/d+1/f,
где F – фокусное расстояние линзы,
d – расстояние от линзы до предмета,
f – расстояние от линзы до изображения.
d=1/(1/F-1/f),
d=1/(1/1-1/1,01)=101 м.
Поперечное увеличение предмета в линзе Г определяется по формуле:
Г=f/d=h/Н,
где h – высота изображения,
Н – высота предмета.
Н=h*d/f
Н=0,101*101/1,01=10,�1 м.